Determine a resposta correta para o limite
lim (x, y) longrightarrow(0,0) 2 y^2raizx^2+y^2
a. infty
b. 1
c. 2
d. 0
e. Não existe o limite

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite que manda calcular lim (x, y) to (0,0) 2 y^2raizx^2+y^2. O conteúdo que vamos usar aqui é o cálculo de limites em funções de várias variáveis. Para resolver, precisamos entender como a função se comporta quando (x, y) se aproxima de (0, 0).

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a expressão do limite para facilitar. A função que temos é 2 y^2raizx^2+y^2. Para analisar limites em duas variáveis, uma técnica comum é usar coordenadas polares, onde x = r costheta e y = r sintheta, e r = raizx^2+y^2. Isso simplifica a expressão e ajuda a ver se o limite depende do caminho.

Passo 3

Transformando para coordenadas polares:
2 y^2raizx^2+y^2 = 2 (r sintheta)^2r = 2 r^2 sin^2thetar = 2 r sin^2theta
Agora, a expressão ficou 2 r sin^2theta. Aqui, r representa a distância do ponto (x, y) até a origem, e theta é o ângulo.

Passo 4

Vamos observar o que acontece quando r to 0. Como 2 r sin^2theta depende de r multiplicado por sin^2theta, e sabemos que sin^2theta está sempre entre 0 e 1, então:
0 <= 2 r sin^2theta <= 2 r
Quando r to 0, tanto 2 r sin^2theta quanto 2 r vão para 0.

Passo 5

Como o valor da expressão está sendo “apertado” entre 0 e 2r, e ambos os limites desses extremos são 0, pelo Teorema do Sanduíche (ou Teorema da Apertação), podemos concluir que o limite da nossa função também é 0.

Resposta

A resposta correta é a opção d. 0.

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