Determine a resposta correta para o limite
a.
b. 1
c. 2
d. 0
e. Não existe o limite
a.
b. 1
c. 2
d. 0
e. Não existe o limite
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse limite que manda calcular
. O conteúdo que vamos usar aqui é o cálculo de limites em funções de várias variáveis. Para resolver, precisamos entender como a função se comporta quando
se aproxima de
.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a expressão do limite para facilitar. A função que temos é
. Para analisar limites em duas variáveis, uma técnica comum é usar coordenadas polares, onde
e
, e
. Isso simplifica a expressão e ajuda a ver se o limite depende do caminho.
Passo 3
Transformando para coordenadas polares:
Agora, a expressão ficou
. Aqui,
representa a distância do ponto
até a origem, e
é o ângulo.
Passo 4
Vamos observar o que acontece quando
. Como
depende de
multiplicado por
, e sabemos que
está sempre entre 0 e 1, então:
Quando
, tanto
quanto
vão para 0.
Passo 5
Como o valor da expressão está sendo “apertado” entre 0 e 2r, e ambos os limites desses extremos são 0, pelo Teorema do Sanduíche (ou Teorema da Apertação), podemos concluir que o limite da nossa função também é 0.
Resposta
A resposta correta é a opção d.
.