Calcule a integral usando a integração por partes com as escolhas de u e d v indicadas.
integral arctg 4 t d t

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
integral arctan(4t),dt
usando o método de integração por partes.
Lembrando que a fórmula é
integral u,dv = u,v - integral v,du

Passo 2

Escolhemos
u = arctan(4t), dv = dt,
pois a derivada de arctan(4t) simplifica e integrar dt é trivial.

Passo 3

Calculamos du e v:
Derivando u:
ddtl(arctan(4t)r) = 41+(4t)^2 = 41+16t^2,
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du = 41+16t^2,dt
Integrando dv:
v = integral dt = t

Passo 4

Aplicando a fórmula de partes:
integral arctan(4t),dt = u,v - integral v,du = t,arctan(4t) - integral tcdot41+16t^2,dt

Passo 5

Para terminar, calculamos
integral 4t1+16t^2,dt
Fazendo a substituição
w = 1+16t^2 Longrightarrow dw = 32t,dt Longrightarrow t,dt = dw32,
temos
integral 4t1+16t^2,dt = 4integral t,dtw = 4integral 132dww = 18integral dww = 18lnl|wr| = 18lnl(1+16t^2r)

Passo 6

Voltando à integral original:
integral arctan(4t),dt = t,arctan(4t) - 18lnl(1+16t^2r) + C

Resposta

t,arctan(4t) - 18lnl(1+16t^2r) + C

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