Determine o limite, caso exista:
lim (x, y) longrightarrow(0,0) x ln (x^2+y^2)
a. Não existe o limite
b. -infty
c. infty
d. 1
e. 0

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício onde precisamos encontrar o limite de x ln(x^2 + y^2) quando (x, y) se aproxima de (0,0). Esse problema envolve conceitos de limites em funções de duas variáveis e transformação para coordenadas polares. Para resolver, vamos precisar converter as coordenadas cartesianas (x, y) para polares e analisar o comportamento da função conforme r (a distância até a origem) se aproxima de zero.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar como converter de coordenadas cartesianas para polares. As fórmulas são:
x = r cos(theta)
y = r sin(theta)
Onde r é a distância até a origem e theta é o ângulo com o eixo positivo x .

Passo 3

Aplicando essa transformação na nossa função x ln(x^2 + y^2) , temos:
x ln(x^2 + y^2) = r cos(theta) ln(r^2)
Simplificando, fica:
r cos(theta) cdot 2 ln(r)
Ou seja:
2 r cos(theta) ln(r)

Passo 4

Agora, precisamos analisar o limite de 2 r cos(theta) ln(r) quando r se aproxima de 0. Sabemos que ln(r) tende a -infty quando r vai para 0, mas r está multiplicando esse termo. Precisamos descobrir qual comportamento domina: se r vai para 0 mais rápido que ln(r) vai para -infty.

Passo 5

Para isso, observamos o termo r ln(r) . Sabemos que, quando r tende a 0, o r (que vai para 0) domina o ln(r) (que vai para -infty), fazendo com que o produto r ln(r) tenda a 0. Multiplicando por cos(theta) , que é uma função limitada (entre -1 e 1), o resultado geral também tende a 0.

Resposta

O limite é 0. Portanto, a alternativa correta é a e. 0.

Exercícios relacionados