Determine o limite, caso exista:
a. Não existe o limite
b.
c.
d. 1
e. 0
a. Não existe o limite
b.
c.
d. 1
e. 0
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício onde precisamos encontrar o limite de
quando
se aproxima de
. Esse problema envolve conceitos de limites em funções de duas variáveis e transformação para coordenadas polares. Para resolver, vamos precisar converter as coordenadas cartesianas
para polares e analisar o comportamento da função conforme
(a distância até a origem) se aproxima de zero.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar como converter de coordenadas cartesianas para polares. As fórmulas são:
Onde
é a distância até a origem e
é o ângulo com o eixo positivo
.
Passo 3
Aplicando essa transformação na nossa função
, temos:
Simplificando, fica:
Ou seja:
Passo 4
Agora, precisamos analisar o limite de
quando
se aproxima de 0. Sabemos que
tende a
quando
vai para 0, mas
está multiplicando esse termo. Precisamos descobrir qual comportamento domina: se
vai para 0 mais rápido que
vai para
.
Passo 5
Para isso, observamos o termo
. Sabemos que, quando
tende a 0, o
(que vai para 0) domina o
(que vai para
), fazendo com que o produto
tenda a 0. Multiplicando por
, que é uma função limitada (entre -1 e 1), o resultado geral também tende a 0.
Resposta
O limite é 0. Portanto, a alternativa correta é a e. 0.