Questão 3. Determine a solução geral para as seguintes EDOs de segunda ordem homogêneas com coeficientes constantes.
6 y^prime prime-5 y^prime+y=0.

Passo 1

Temos a EDO homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes
6y'' - 5y' + y = 0
O método clássico é supor uma solução do tipo y=e^rx e obter a equação característica.

Passo 2

Supondo y=e^rx temos
y' = r e^rx, y''=r^2 e^rx
Substituindo na EDO:
6(r^2 e^rx) -5(r e^rx) + (e^rx)=0
e dividindo por e^rxneq 0 surge a equação característica
6r^2 -5r +1 = 0

Passo 3

Calculamos o discriminante da quadrática:
De<a = (-5)^2 - 4cdot6cdot1 = 25 - 24 = 1
As raízes são
r = 5 pm raiz12cdot6 = 5 pm 112,
ou seja
r1 = 612 = tfrac12, r2 = 412 = tfrac13

Passo 4

Como as raízes r1 e r2 são reais e distintas, a forma geral da solução é
y(x) = C1 e^r1 x + C2 e^r2 x

Resposta

y(x) = C1 e^x2 + C2 e^x3

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