Calcule as seguintes integrais.
\int e^{u x} \operatorname{sen} b x d x.

Passo 1

O enunciado pede a integral indefinida
\int e^{u x}\sin(b x)\,dx.
Aqui vamos usar o método de integração por partes duas vezes até obter uma equação para a própria integral.

Passo 2

Defina
I = \int e^{u x}\sin(b x)\,dx.
Aplique integração por partes escolhendo
\begin{cases} \text{funcão a ser derivada: }U_1 = e^{u x},& dU_1 = u\,e^{u x}\,dx,\\\ \text{funcão a ser integrada: }dV_1 = \sin(b x)\,dx,& V_1 = -\frac{\cos(b x)}{b}. \end{cases}ãã
Então
I = U_1 V_1 - \int V_1\,dU_1 = -\frac{e^{u x}\cos(b x)}{b} - \int \Bigl(-\frac{\cos(b x)}{b}\Bigr)\bigl(u\,e^{u x}\bigr)\,dx = -\frac{e^{u x}\cos(b x)}{b} + \frac{u}{b}\int e^{u x}\cos(b x)\,dx.
Chame
J = \int e^{u x}\cos(b x)\,dx,
para ficar
I = -\frac{e^{u x}\cos(b x)}{b} + \frac{u}{b}\,J.

Passo 3

Agora calcule J por partes, escolhendo
\begin{cases} U_2 = e^{u x},& dU_2 = u\,e^{u x}\,dx,\\\ dV_2 = \cos(b x)\,dx,& V_2 = \frac{\sin(b x)}{b}. \end{cases}
Isso dá
J = U_2 V_2 - \int V_2\,dU_2 = \frac{e^{u x}\sin(b x)}{b} - \frac{u}{b}\int e^{u x}\sin(b x)\,dx = \frac{e^{u x}\sin(b x)}{b} - \frac{u}{b}\,I.

Passo 4

Volte à expressão de I:
I = -\frac{e^{u x}\cos(b x)}{b} + \frac{u}{b}\,J = -\frac{e^{u x}\cos(b x)}{b} + \frac{u}{b}\Bigl(\frac{e^{u x}\sin(b x)}{b} - \frac{u}{b}I\Bigr).
Distribuindo:
I = -\frac{e^{u x}\cos(b x)}{b} + \frac{u\,e^{u x}\sin(b x)}{b^2} - \frac{u^2}{b^2}\,I.
Some \frac{u^2}{b^2}I para o lado esquerdo:
I + \frac{u^2}{b^2}\,I = \frac{u^2+b^2}{b^2}\,I = -\frac{e^{u x}\cos(b x)}{b} + \frac{u\,e^{u x}\sin(b x)}{b^2}.
Multiplicando ambos os lados por \frac{b^2}{u^2+b^2}:
I = \frac{b^2}{u^2+b^2}\Bigl(-\frac{e^{u x}\cos(b x)}{b} + \frac{u\,e^{u x}\sin(b x)}{b^2}\Bigr) = \frac{e^{u x}}{u^2+b^2}\bigl(u\sin(b x)-b\cos(b x)\bigr).

Resposta

\int e^{u x}\sin(b x)\,dx = \frac{e^{u x}}{u^2+b^2}\bigl(u\sin(b x)-b\cos(b x)\bigr) + C.

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