Calcule a integral usando a integração por partes:
integral ln (1+x^2) d x

Passo 1

Nesse exercício vamos calcular a integral integral ln(1+x^2),dx aplicando o método de integração por partes, que usa a fórmula integral u,dv = u,v - integral v,du. Precisaremos escolher u e dv de forma conveniente.

Passo 2

Vamos definir u = ln(1+x^2) e dv = dx. Dessa escolha, conseguiremos encontrar du e v.

Passo 3

Derivando u e integrando dv, obtemos
du = 2x1+x^2,dx, v = x

Passo 4

Substituindo esses resultados na fórmula de partes, fica:
integral ln(1+x^2),dx = xln(1+x^2) - integral x cdot 2x1+x^2 ,dx = xln(1+x^2) - 2integral x^21+x^2,dx

Passo 5

Para integrar x^21+x^2, escrevemos
x^21+x^2 = 1 - 11+x^2
Assim,
2integral x^21+x^2,dx = 2integral l(1 - 11+x^2r)dx = 2integral dx - 2integral dx1+x^2

Passo 6

As integrais são prontas: integral dx = x e integral dx1+x^2 = arctan x. Logo,
2integral x^21+x^2,dx = 2x - 2arctan x

Passo 7

Voltando ao resultado por partes, temos:
integral ln(1+x^2),dx = xln(1+x^2) - l(2x - 2arctan xr) + C = xln(1+x^2) - 2x + 2arctan x + C

Resposta

xln(1+x^2) - 2x + 2arctan x + C

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