Resolva as seguintes equacoes
x^4-16=0

Passo 1

Vamos resolver a equação x^4 - 16 = 0 . Esse problema pertence ao conteúdo de Equações Algébricas, especificamente envolvendo polinômios de quarto grau. Para resolver, vamos precisar entender como fatorar expressões algébricas e encontrar suas raízes.

Passo 2

Primeiro, vamos observar que a equação x^4 - 16 pode ser vista como uma diferença de quadrados. Sabemos que a^2 - b^2 = (a - b)(a + b) . Aqui, a = x^2 e b = 4 , então podemos reescrever a expressão:
x^4 - 16 = (x^2)^2 - 4^2 = (x^2 - 4)(x^2 + 4)

Passo 3

Agora, temos duas expressões multiplicadas que resultam em zero. Para que o produto seja zero, pelo Princípio do Produto Nulo, pelo menos uma das partes deve ser igual a zero. Portanto, vamos igualar cada fator a zero:
x^2 - 4 = 0 ou x^2 + 4 = 0

Passo 4

Vamos resolver cada uma dessas equações separadamente.
  1. Para x^2 - 4 = 0 :
x^2 = 4
Para encontrar x , tiramos a raiz quadrada de ambos os lados:
x = raiz4 ou x = -raiz4
x = 2 ou x = -2
  1. Para x^2 + 4 = 0 :
x^2 = -4
Aqui, temos uma raiz quadrada de um número negativo, o que introduz os números imaginários. Então:
x = raiz-4 ou x = -raiz-4
Sabemos que raiz-1 = i , então:
x = 2i ou x = -2i

Resposta

As soluções da equação x^4 - 16 = 0 são:
x = 2, x = -2, x = 2i, e x = -2i

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