Usando a definicao de limite, prove que:
lim x 2(2-x^2)=-2 (So para quem desejar)

Passo 1

O enunciado pede para provar que
limxto2l(2 - x^2r) = -2
usando a definição epsilon-delta de limite. Precisamos mostrar que, dado qualquer varepsilon>0, existe de<a>0 tal que, sempre que 0<|x-2|<de<a, teremos
l|(2 - x^2) - (-2)r|<varepsilon

Passo 2

Calculemos a diferença em módulo entre a função e o limite candidato:
l|(2 - x^2) - (-2)r| = l|2 - x^2 + 2r| = |4 - x^2| = |x-2|;|x+2|

Passo 3

Para controlar o fator |x+2|, impomos uma restrição extra sobre de<a. Se escolhermos de<a<=1, então sempre que |x-2|<1 temos
1 < x < 3 Longrightarrow |x+2| < 5

Passo 4

Com isso,
l|(2 - x^2) - (-2)r| = |x-2|;|x+2| < 5,|x-2|
Para garantir 5,|x-2|<varepsilon, basta exigir |x-2|<varepsilon/5. Logo, definimos
de<a = min1,;varepsilon/5
Então, sempre que 0<|x-2|<de<a, seguiremos as duas condições (i) |x-2|<1 e (ii) |x-2|<varepsilon/5, de modo que
l|(2 - x^2) - (-2)r| < 5,|x-2| < 5cdot(varepsilon/5) = varepsilon

Resposta

Escolhendo de<a = min1,varepsilon/5, obtemos l|(2 - x^2)-(-2)r|<varepsilon sempre que 0<|x-2|<de<a. Portanto
limxto2l(2 - x^2r) = -2

Exercícios relacionados