Usando a definicao de limite, prove que:
lim x 1(3 x+2)=5

Passo 1

O enunciado pede para mostrar, usando a definição varepsilon de<a, que
limxto1l(3x+2r)=5
Aqui o conteúdo é a definição de limite de função em um ponto: dada a função f(x)=3x+2, queremos provar que para todo varepsilon>0 existe de<a>0 tal que, sempre que 0<|x-1|<de<a, teremos l|f(x)-5r|<varepsilon.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a condição que queremos satisfazer em termos de varepsilon e de<a. Pela definição, precisamos
para todo varepsilon>0, exists,de<a>0 tal que se 0<|x-1|<de<a então |f(x)-5|<varepsilon ã

Passo 3

Calculemos a diferença |f(x)-5|:
|f(x)-5| = l|3x+2 - 5r| = l|3x - 3r| = 3,|x-1|

Passo 4

Para garantir que 3,|x-1|<varepsilon, basta exigir
|x-1| < varepsilon3
Logo, fazemos a escolha canônica
de<a = varepsilon3

Passo 5

Concluímos a prova verificando que, com essa escolha, sempre que
0<|x-1|<de<a=varepsilon3
então
|f(x)-5| = 3,|x-1| < 3cdotvarepsilon3 = varepsilon
Isso é exatamente o que a definição de limite exige.

Resposta

Fica provado que
limxto1(3x+2)=5

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