Calcule a integral usando integração por partes, substituição, ou ambos, se necessário.
40. integral x^2(x^3+9)^15 d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
integral x^2l(x^3+9r)^15,dx
usando técnicas de integração por partes ou substituição. Aqui vamos usar substituição, pois dentro da potência aparece x^3+9 e sua derivada difere apenas por um fator constante.

Passo 2

Fazemos a substituição
u = x^3 + 9,
então
du = 3x^2,dx Longrightarrow x^2,dx = tfrac13,du

Passo 3

Substituindo na integral original, temos
integral x^2l(x^3+9r)^15,dx = integral u^15,13,du = 13integral u^15,du
Agora integramos u^15:
integral u^15,du = u^1616 + C

Passo 4

Voltando à variável x, obtemos
13cdotu^1616 + C = u^1648 + C = l(x^3+9r)^1648 + C

Resposta

integral x^2l(x^3+9r)^15,dx = l(x^3+9r)^1648 + C

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