Noa problemas abaixo, determine se o Teorema de Existência e Unicidade implica que dado PVI tem uma solução única.
d yd t-t y=sin ^2 t, y(pi)=5

Passo 1

O enunciado dá o problema de valor inicial (PVI)
dydt - t,y = sin^2 t, y(pi)=5
e pede para verificar se o Teorema de Existência e Unicidade (também chamado de Teorema de Picard– Lindel"of ou de Cauchy– Lipschitz) assegura solução única.

Passo 2

Reescrevemos a equação na forma padrão
dydt = f(t,y),
onde
f(t,y) = t,y + sin^2 t

Passo 3

Para aplicar o teorema, precisamos de duas condições em torno do ponto (t0,y0)=(pi,5):
1. f(t,y) é contínua em t e y.
2. partial f/partial y é contínua em t e y (o que garante a condição de Lipschitz em y).
Aqui
f(t,y)=t,y+sin^2 t
é claramente contínua em (t,y)inR^2, e
partial fpartial y(t,y)=t
também é contínua em toda R^2.

Passo 4

Como f e partial f/partial y são contínuos numa vizinhança de (pi,5), o Teorema de Picard– Lindel"of garante existência e unicidade de solução local ao redor de t=pi. Aliás, como essas funções são contínuas em todo R^2, a solução única se estende globalmente em t.

Resposta

Sim. O Teorema de Existência e Unicidade garante que o PVI
dydt-t,y=sin^2 t, y(pi)=5
tem exatamente uma solução definida numa vizinhança de t=pi (e de fato em todo R).

Exercícios relacionados