Noa problemas abaixo, determine se o Teorema de Existência e Unicidade implica que dado PVI tem uma solução única.
Passo 1
O enunciado dá o problema de valor inicial (PVI)
e pede para verificar se o Teorema de Existência e Unicidade (também chamado de Teorema de Picard– Lindel"of ou de Cauchy– Lipschitz) assegura solução única.
Passo 2
Reescrevemos a equação na forma padrão
onde
Passo 3
Para aplicar o teorema, precisamos de duas condições em torno do ponto
:
.
é contínua em
e
.
.
é contínua em
e
(o que garante a condição de Lipschitz em
).
Aqui
é claramente contínua em
, e
também é contínua em toda
.
Passo 4
Como
e
são contínuos numa vizinhança de
, o Teorema de Picard– Lindel"of garante existência e unicidade de solução local ao redor de
. Aliás, como essas funções são contínuas em todo
, a solução única se estende globalmente em
.
Resposta
Sim. O Teorema de Existência e Unicidade garante que o PVI
tem exatamente uma solução definida numa vizinhança de
(e de fato em todo
).