Noa problemas abaixo, determine se o Teorema de Existência e Unicidade implica que dado PVI tem uma solução única.
d xd t+cos x=sin t, x(pi)=0

Passo 1

O enunciado fornece o PVI
dxdt + cos x = sin t, x(pi)=0
e pede para verificar se o Teorema de Existência e Unicidade (Picard–Lindel"of) assegura solu\c{c}~ao \unichar{00FAn}ica. Vamos identificar a fun\c{c}~ao
f(t,x)=sin t-cos x
e checar as hip’oteses do teorema: continuidade de f e condi\c{c}~ao de Lipschitz em x.

Passo 2

Reescrevendo em forma padrão:
dxdt=f(t,x), f(t,x)=sin t-cos x
Como sin t e cos x são funções contínuas em todo (t,x)inR^2, então f(t,x) é contínua em t e x.

Passo 3

Calculamos a derivada parcial de f em relação a x:
partial fpartial x(t,x)=sin x
Como sin x é contínua e limitada ( lvertsin xrvert<=1), a condição de Lipschitz em x vale globalmente (em qualquer retângulo de (t,x)).

Passo 4

Pelo Teorema de Picard–Lindel"of, a continuidade de f e a propriedade de Lipschitz em x garantem exist’encia e unicidade de solu\c{c}~ao local ao redor de t=pi. Como partial f/partial x 'e limitada em toda reta, essa solu\c{c}~ao se estende para todo R, dando solu\c{c}~ao \unichar{00FAn}ica global.

Resposta

Sim. Pelo Teorema de Exist’encia e Unicidade de Picard–Lindel"of, o PVI
dxdt+cos x=sin t, x(pi)=0
possui solu\c{c}~ao \unichar{00FAn}ica.

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