Noa problemas abaixo, determine se o Teorema de Existência e Unicidade implica que dado PVI tem uma solução única.
Passo 1
O enunciado fornece o PVI
e pede para verificar se o Teorema de Existência e Unicidade (Picard–Lindel"of) assegura solu\c{c}~ao \unichar{00FAn}ica. Vamos identificar a fun\c{c}~ao
e checar as hip’oteses do teorema: continuidade de
e condi\c{c}~ao de Lipschitz em
.
Passo 2
Reescrevendo em forma padrão:
Como
e
são funções contínuas em todo
, então
é contínua em
e
.
Passo 3
Calculamos a derivada parcial de
em relação a
:
Como
é contínua e limitada (
), a condição de Lipschitz em
vale globalmente (em qualquer retângulo de
).
Passo 4
Pelo Teorema de Picard–Lindel"of, a continuidade de
e a propriedade de Lipschitz em
garantem exist’encia e unicidade de solu\c{c}~ao local ao redor de
. Como
'e limitada em toda reta, essa solu\c{c}~ao se estende para todo
, dando solu\c{c}~ao \unichar{00FAn}ica global.
Resposta
Sim. Pelo Teorema de Exist’encia e Unicidade de Picard–Lindel"of, o PVI
possui solu\c{c}~ao \unichar{00FAn}ica.