Encontre o volume de um cone circular reto com altura h e base de raio r usando sólido de revolução no eixo x .

Passo 1

O enunciado pede o volume de um cone circular reto de altura h e raio da base r, usando o método de sólido de revolução em torno do eixo x. O conteúdo é o cálculo de volume por meio do método dos discos, e vamos precisar:
– a função que descreve o raio do disco em cada x,
– a fórmula do volume como V = piintegrala^b[y(x)]^2,dx.

Passo 2

Para obter a função que dá o raio do disco em cada posição x, observamos que, no triângulo gerador do cone, o raio cresce linearmente de 0 em x=0 até r em x=h. Logo,
y(x)=rh,x,
para 0<= x<= h.

Passo 3

Pelo método dos discos, o volume é
V = pi integral0^h l[y(x)r]^2 ,dx = pi integral0^h (rhx)^2 dx

Passo 4

Calculando a integral:
V = pi r^2h^2integral0^h x^2dx = pi r^2h^2[x^33]0^h = pi r^2h^2cdoth^33 = 13,pi,r^2,h

Resposta

O volume do cone é
boxedV = 13,pi,r^2,h

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