Noa problemas abaixo, determine se o Teorema de Existência e Unicidade implica que dado PVI tem uma solução única.
3 x d xd t+4 t=0, x(2)=-pi

Passo 1

O enunciado apresenta o problema de valor inicial
3,x,dxdt + 4,t = 0, x(2) = -pi,
e pede para verificar se o Teorema de Existência e Unicidade (Picard–Lindelöf) garante uma solução única. O conteúdo necessário é reescrever a EDO em forma dxdt = f(t,x) e checar continuidade de f e de partial fpartial x numa vizinhança de (t0,x0)=(2,-pi).

Passo 2

Isolamos dx/dt. Da equação dada,
3,x,dxdt + 4,t = 0 ;Longrightarrow; dxdt = -4,t3,x
Definimos
f(t,x) = -4,t3,x
Repare que f só apresenta singularidade em x=0.

Passo 3

Para aplicar o Teorema de Existência e Unicidade precisamos de:
1. f(t,x) contínua em (t,x);
2. partial f/partial x contínua em (t,x).
Calculamos
partial fpartial x = partialpartial xl(-4,t3,xr) = 4,t3,x^2
Ambas as funções são contínuas em qualquer região que não contenha x=0. Como a condição inicial é x(2)=-pineq0, podemos escolher um retângulo em (t,x) em volta de (2,-pi) que não toques x=0. Assim as hipóteses do teorema estão satisfeitas.

Resposta

Sim. O Teorema de Existência e Unicidade garante que há uma solução única do PVI numa vizinhança de t=2.

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