Noa problemas abaixo, determine se o Teorema de Existência e Unicidade implica que dado PVI tem uma solução única.
Passo 1
O enunciado apresenta o problema de valor inicial
e pede para verificar se o Teorema de Existência e Unicidade (Picard–Lindelöf) garante uma solução única. O conteúdo necessário é reescrever a EDO em forma
e checar continuidade de
e de
numa vizinhança de
.
Passo 2
Isolamos
. Da equação dada,
Definimos
Repare que
só apresenta singularidade em
.
Passo 3
Para aplicar o Teorema de Existência e Unicidade precisamos de:
.
contínua em
;
.
contínua em
.
Calculamos
Ambas as funções são contínuas em qualquer região que não contenha
. Como a condição inicial é
, podemos escolher um retângulo em
em volta de
que não toques
. Assim as hipóteses do teorema estão satisfeitas.
Resposta
Sim. O Teorema de Existência e Unicidade garante que há uma solução única do PVI numa vizinhança de
.