Calcule a integral usando integração por partes, substituição, ou ambos, se necessário.
41. integral cos x ln (sen x) d x

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral
integral cos x ,lnl(sen xr),dx
usando técnicas de integração por partes e/ou substituição. O conteúdo aqui é a fórmula de integração por partes:
integral u,dv = u,v - integral v,du

Passo 2

Escolhemos as partes de modo que simplifique o logaritmo:
u = lnl(sen xr) e dv = cos x,dx.
Então calculamos
du = ddxlnl(sen xr),dx = cos xsen x,dx = cot x,dx,
v = integral cos x,dx = sen x

Passo 3

Aplicando a fórmula de integração por partes:
integral cos x ,lnl(sen xr),dx = u,v ;-;integral v,du = sen x,lnl(sen xr) -integral sen x;cot x,dx

Passo 4

Note que sen x,cot x = sen xcdotcos xsen x = cos x. Logo
integral sen x,cot x,dx = integral cos x,dx = sen x

Passo 5

Substituindo de volta,
integral cos x ,lnl(sen xr),dx = sen x,lnl(sen xr) - sen x + C

Resposta

sin x lnl(sin xr) ;-;sin x + C

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