Calcule a integral usando integração por partes, substituição, ou ambos, se necessário.
44. integral tg raizx d xraizx

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
integral tanl(raizxr)raizx,dx
usando técnicas de integração por partes ou substitutions. Aqui vamos usar substituição para simplificar a raiz quadrada.

Passo 2

Fazemos a substituição
t = raizx, logo x = t^2
Diferenciando, temos
dt = 12raizx,dx Longrightarrow dx = 2raizx,dt = 2t,dt

Passo 3

Substituindo na integral original, obtemos
integral tanl(raizxr)raizx,dx = integral tan(t)t,(2t,dt) = 2integral tan(t),dt

Passo 4

Lembrando que
integral tan(t),dt = -lnl|cos(t)r| + C,
segue que
2integral tan(t),dt = -2lnl|cos(t)r| + C
Voltando à variável x (onde t=raizx), temos a primitiva desejada.

Resposta

-2lnl|cos(raizx)r| + C

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