Noa problemas abaixo, determine se o Teorema de Existência e Unicidade implica que dado PVI tem uma solução única.
y d yd x=x, y(1)=0

Passo 1

O PVI é
y,dydx=x, y(1)=0,
e queremos ver se o Teorema de Existência e Unicidade (Picard–Lindel"of) garante solu\c{c}~ao \u{u}nica. Esse teorema exige que, na forma normal
dydx=f(x,y),
a fun\c{c}~ao f seja cont’inua em x e Lipschitz em y numa vizinhan\c{c}a de (x0,y0)=(1,0).

Passo 2

Reescrevendo em forma normal obtemos
dydx=xy,
Aqui f(x,y)=x/y não está nem definido nem contínuo quando y=0. Logo não existe vizinhança de (1,0) onde f seja contínua (muito menos Lipschitz) em y. Portanto as hipóteses do teorema falham.

Passo 3

Para ilustrar o que ocorre, resolvemos por separação:
y,dy = x,dx Longrightarrow integral y,dy = integral x,dx Longrightarrow y^22 = x^22 + C
ou seja
y^2 = x^2 + C'
Impondo y(1)=0 0^2 = 1^2 + C', logo C'=-1 e
y^2 = x^2 -1 Longrightarrow y = pmraizx^2-1

Passo 4

Vemos que existem duas soluções distintas ( y=+raizx^2-1 e y=-raizx^2-1) que passam por (1,0). Isso confirma que não há unicidade, pois o Teorema de Existência e Unicidade não se aplica às hipóteses faltantes.

Resposta

O Teorema de Existência e Unicidade não garante solução única, pois f(x,y)=x/y não é contínua nem Lipschitz em y na vizinhança de (1,0).

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