Noa problemas abaixo, determine se o Teorema de Existência e Unicidade implica que dado PVI tem uma solução única.
Passo 1
O PVI é
e queremos ver se o Teorema de Existência e Unicidade (Picard–Lindel"of) garante solu\c{c}~ao \u{u}nica. Esse teorema exige que, na forma normal
a fun\c{c}~ao
seja cont’inua em
e Lipschitz em
numa vizinhan\c{c}a de
.
Passo 2
Reescrevendo em forma normal obtemos
Aqui
não está nem definido nem contínuo quando
. Logo não existe vizinhança de
onde
seja contínua (muito menos Lipschitz) em
. Portanto as hipóteses do teorema falham.
Passo 3
Para ilustrar o que ocorre, resolvemos por separação:
ou seja
Impondo
dá
, logo
e
Passo 4
Vemos que existem duas soluções distintas (
e
) que passam por
. Isso confirma que não há unicidade, pois o Teorema de Existência e Unicidade não se aplica às hipóteses faltantes.
Resposta
O Teorema de Existência e Unicidade não garante solução única, pois
não é contínua nem Lipschitz em
na vizinhança de
.