Descreva as curvas de nível e determine a imagem:
f(x, y)=x-2 y

Passo 1

Beleza, o enunciado fala de duas coisas:
  1. Descrever as curvas de nível de f(x,y)=x-2y.
  2. Determinar a imagem dessa função.
    Isso cai em “Funções de duas variáveis”: curva de nível (conjunto de pontos que dão o mesmo valor) e imagem (todos os valores que a função pode assumir). Vamos precisar saber a definição de curva de nível e usar álgebra básica pra isolar variáveis e ver qual é o conjunto de valores atingidos.

Passo 2

Pra curva de nível a ideia é: fixa um número c e resolve
f(x,y)=c
ou seja
x-2y=c
Isso já é a equação geral de uma reta no plano. Se você quiser, pode escrever de outro jeito, tipo
y=x-c2 ou x=2y+c
Em ambos os casos, pra cada valor de c você tem uma reta com coeficiente angular tfrac12 (ou seja, todas as retas são paralelas e “deslizam” conforme c varia).

Passo 3

Pra ver a imagem de f, a gente pergunta: “será que dá pra atingir qualquer valor real?”
Suponha que eu queira um valor qualquer t. Basta escolher, por exemplo,
x=t e y=0
f(t,0)=t-2cdot0=t
Então eu consigo produzir qualquer tinR. Logo a imagem de f é todo o conjunto dos números reais.

Resposta

As curvas de nível de f(x,y)=x-2y são as retas paralelas definidas por
x-2y=c, cinR,
e a imagem de f é R.

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