Descreva as curvas de nível e determine a imagem:
Passo 1
Beleza, o enunciado fala de duas coisas:
- Descrever as curvas de nível de
. - Determinar a imagem dessa função.
Isso cai em “Funções de duas variáveis”: curva de nível (conjunto de pontos que dão o mesmo valor) e imagem (todos os valores que a função pode assumir). Vamos precisar saber a definição de curva de nível e usar álgebra básica pra isolar variáveis e ver qual é o conjunto de valores atingidos.
Passo 2
Pra curva de nível a ideia é: fixa um número
e resolve
ou seja
Isso já é a equação geral de uma reta no plano. Se você quiser, pode escrever de outro jeito, tipo
Em ambos os casos, pra cada valor de
você tem uma reta com coeficiente angular
(ou seja, todas as retas são paralelas e “deslizam” conforme
varia).
Passo 3
Pra ver a imagem de
, a gente pergunta: “será que dá pra atingir qualquer valor real?”
Suponha que eu queira um valor qualquer . Basta escolher, por exemplo,
Suponha que eu queira um valor qualquer
Aí
Então eu consigo produzir qualquer
. Logo a imagem de
é todo o conjunto dos números reais.
Resposta
As curvas de nível de
são as retas paralelas definidas por
e a imagem de
é
.