Calcule a integral usando a Parte 2 do Teorema Fundamental do Cálculo.
\int_{-2}^{1}\left(x^{2}-6 x+12\right) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
\int_{-2}^{1}\bigl(x^{2}-6x+12\bigr)\,dx
usando a Parte 2 do Teorema Fundamental do Cálculo, que diz que se F é uma antiderivada de f então
\int_{a}^{b}f(x)\,dx = F(b) - F(a).

Passo 2

Precisamos encontrar uma antiderivada F(x) de f(x)=x^{2}-6x+12. Usando a regra de potência termo a termo:
\int x^{2}\,dx = \frac{x^{3}}{3},\quad \int (-6x)\,dx = -6\cdot\frac{x^{2}}{2} = -3x^{2},\quad \int 12\,dx = 12x.
Portanto uma antiderivada é
F(x) = \frac{x^{3}}{3} -3x^{2} +12x.

Passo 3

Agora aplicamos
\int_{-2}^{1}f(x)\,dx = F(1) - F(-2).
Calculemos
F(1) = \frac{1^{3}}{3} -3\cdot1^{2} +12\cdot1 = \frac{1}{3} -3 +12 = \frac{1 -9 +36}{3} = \frac{28}{3},
e
F(-2) = \frac{(-2)^{3}}{3} -3\cdot(-2)^{2} +12\cdot(-2) = \frac{-8}{3} -3\cdot4 -24 = \frac{-8}{3} -12 -24 = \frac{-8 -108}{3} = -\frac{116}{3}.
Logo
\int_{-2}^{1}\bigl(x^{2}-6x+12\bigr)\,dx = \frac{28}{3} - \Bigl(-\frac{116}{3}\Bigr) = \frac{144}{3} = 48.

Resposta

48

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