Calcule a integral usando substituição:
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral juntos! O enunciado pede para calcular:
Isso envolve o conteúdo de integração por substituição, uma técnica útil quando conseguimos simplificar a integral mudando de variável. Vamos precisar identificar uma parte da expressão que, ao substituir por uma nova variável, facilite a resolução.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar uma substituição que simplifique a integral. Observando a expressão, notamos que o denominador tem
. Vamos definir:
Passo 3
Agora, precisamos encontrar
, que é a derivada de
em relação a
:
Olha só, justamente temos
no numerador da integral original!
Passo 4
Com a substituição feita, podemos reescrever a integral em termos de
:
Passo 5
Agora, vamos resolver a integral mais simples:
A regra básica de integração para potências é:
onde
é a constante de integração.
Passo 6
Aplicando a regra, temos:
Simplificando:
Passo 7
Agora, voltamos para a variável original
, lembrando que
:
Resposta
A integral é igual a
, onde
é a constante de integração.