Calcule a integral usando substituição:
integral cos xraiz1+sin x d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral juntos! O enunciado pede para calcular:
integral cos xraiz1+sin x , dx
Isso envolve o conteúdo de integração por substituição, uma técnica útil quando conseguimos simplificar a integral mudando de variável. Vamos precisar identificar uma parte da expressão que, ao substituir por uma nova variável, facilite a resolução.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar uma substituição que simplifique a integral. Observando a expressão, notamos que o denominador tem raiz1 + sin x. Vamos definir:
u = 1 + sin x

Passo 3

Agora, precisamos encontrar du, que é a derivada de u em relação a x:
du = cos x , dx
Olha só, justamente temos cos x , dx no numerador da integral original!

Passo 4

Com a substituição feita, podemos reescrever a integral em termos de u:
integral cos xraiz1+sin x , dx = integral duraizu

Passo 5

Agora, vamos resolver a integral mais simples:
integral duraizu = integral u^-1/2 , du
A regra básica de integração para potências é:
integral u^n , du = u^n+1n+1 + C
onde C é a constante de integração.

Passo 6

Aplicando a regra, temos:
integral u^-1/2 , du = u^1/21/2 + C = 2u^1/2 + C
Simplificando:
2raizu + C

Passo 7

Agora, voltamos para a variável original x, lembrando que u = 1 + sin x:
2raiz1 + sin x + C

Resposta

A integral é igual a 2raiz1 + sin x + C, onde C é a constante de integração.

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