Resolva a integral, aplicando a linearidade:
integral(4 e^x-2x+5x^3) d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral que é a integral de 4 e^x - 2x + 5x^3 em relação a x . O conteúdo que vamos usar aqui é a linearidade das integrais, que basicamente nos permite separar a integral de uma soma em somas de integrais individuais. Para isso, precisamos saber como integrar funções exponenciais como e^x e funções racionais como 1x e 1x^3 .

Passo 2

Primeiro, vamos aplicar a linearidade da integral. Isso significa que podemos separar a integral original em três partes distintas:
integral(4 e^x - 2x + 5x^3) dx = integral 4 e^x dx - integral 2x dx + integral 5x^3 dx
Assim, facilitamos o processo de integrar cada termo separadamente.

Passo 3

Vamos começar com a primeira integral: integral 4 e^x dx .
Sabemos que a integral de e^x em relação a x é e^x . Então, aplicando isso:
integral 4 e^x dx = 4 integral e^x dx = 4 e^x + C1
Aqui, C1 é uma constante de integração que vamos considerar no final.

Passo 4

Agora, vamos para a segunda integral: integral 2x dx .
A integral de 1x em relação a x é o logaritmo natural de |x| . Portanto:
integral 2x dx = 2 integral 1x dx = 2 ln|x| + C2
Onde C2 é outra constante de integração.

Passo 5

Por fim, vamos resolver a terceira integral: integral 5x^3 dx .
Podemos reescrever 5x^3 como 5 x^-3 . A integral de x^n é x^n+1n+1 , desde que n neq -1 . Aplicando isso:
integral 5 x^-3 dx = 5 integral x^-3 dx = 5 ( x^-2-2 ) + C3 = -52 x^-2 + C3 = -52 x^2 + C3
Aqui, C3 é mais uma constante de integração.

Passo 6

Agora, vamos juntar todas as partes que integramos:
4 e^x + 2 ln|x| - 52 x^2 + C
Onde C = C1 + C2 + C3 é a constante geral de integração.

Resposta

integral(4 e^x - 2x + 5x^3) dx = 4 e^x + 2 ln|x| - 52 x^2 + C

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