Calcule a integral usando a substituição trigonométrica indicada. Esboce e coloque legendas no triângulo retângulo associado.
integral x^3raiz1-x^2 d x
x=sen theta

Passo 1

No enunciado, temos que calcular integral x^3raiz1-x^2,dx usando substituição trigonométrica x=sintheta. O conteúdo envolve integrar funções com radical de 1-x^2 e aplicar trig substituição, depois voltar à variável x.

Passo 2

Para a substituição x=sintheta, desenhamos o triângulo retângulo associado: coloque o ângulo theta, a hipotenusa igual a 1, o cateto oposto igual a x e o cateto adjacente igual a raiz1-x^2.

Passo 3

Como x=sintheta, temos dx=costheta,dtheta e raiz1-x^2=costheta. Substituindo na integral:
x^3raiz1-x^2,dx =sin^3thetacosthetacostheta,dtheta =sin^3theta,dtheta

Passo 4

Para calcular integral sin^3theta,dtheta, usamos a identidade sin^3theta=sintheta(1-cos^2theta), obtendo
integral sintheta,dtheta - integral sinthetacos^2theta,dtheta
No segundo termo, deixe u=costheta, então du=-sintheta,dtheta e
integral sinthetacos^2theta,dtheta =-integral u^2,du =-u^33 =-cos^3theta3
Somando, a antiderivada fica
-costheta + cos^3theta3 + C

Passo 5

Voltando a x pela relação costheta=raiz1-x^2, a primitiva é
$$-\sqrt{1-x^2} + \frac{(\sqrt{1-x2})3}{3} + C
=\frac{1}{3}(1-x2){3/2} - (1-x2){1/2} + C.$$

Resposta

tfrac13(1-x^2)^3/2 - raiz1-x^2 + C

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