Calcule a integral usando a substituição trigonométrica indicada. Esboce e coloque legendas no triângulo retângulo associado.
Passo 1
No enunciado, temos que calcular
usando substituição trigonométrica
. O conteúdo envolve integrar funções com radical de
e aplicar trig substituição, depois voltar à variável
.
Passo 2
Para a substituição
, desenhamos o triângulo retângulo associado: coloque o ângulo
, a hipotenusa igual a 1, o cateto oposto igual a
e o cateto adjacente igual a
.
Passo 3
Como
, temos
e
. Substituindo na integral:
Passo 4
Para calcular
, usamos a identidade
, obtendo
No segundo termo, deixe
, então
e
Somando, a antiderivada fica
Passo 5
Voltando a
pela relação
, a primitiva é
$$-\sqrt{1-x^2} + \frac{(\sqrt{1-x2})3}{3} + C
=\frac{1}{3}(1-x2){3/2} - (1-x2){1/2} + C.$$