Calcule a integral usando a substituição trigonométrica indicada. Esboce o triângulo retângulo associado, indicando o ângulo theta e os comprimentos dos lados.
integral0^1 x^3 raiz1-x^2 d x

Passo 1

O enunciado pede
integral0^1 x^3raiz1 - x^2,dx
usando substituição trigonométrica. Como aparece raiz1 - x^2, vamos usar
x = sintheta,
o que implica raiz1 - x^2 = costheta.

Passo 2

Ao fazer x = sintheta, montamos um triângulo retângulo cujos lados são:
hipotenusa =1, cateto oposto =x e cateto adjacente raiz1 - x^2.
O ângulo theta está oposto ao cateto de comprimento x.

Passo 3

Da substituição temos
dx = costheta,dtheta, raiz1 - x^2 = costheta
Além disso, quando x=0 tem theta=0 e, quando x=1, theta=pi/2.
Substituindo na integral:
integral0^1 x^3raiz1 - x^2,dx = integral0^pi/2 (sintheta)^3,costheta;costheta,dtheta = integral0^pi/2 sin^3theta,cos^2theta,dtheta

Passo 4

Para integrar usamos cos^2theta = 1 - sin^2theta, então
integral sin^3theta,cos^2theta,dtheta = integral l(sin^3theta - sin^5thetar),dtheta
Separando e usando antiderivadas conhecidas, chega-se a
integral sin^3theta,cos^2theta,dtheta = -cos^3theta3 + cos^5theta5 + C

Passo 5

Agora avaliamos de theta=0 a theta=pi/2:
l[-tfraccos^3theta3 + tfraccos^5theta5r]0^pi/2 = l(0r) -l(-tfrac13 + tfrac15r) = 215

Resposta

integral0^1 x^3raiz1 - x^2,dx = 215

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