(6 pontos) Encontre a solução geral da EDO:
d yd x=x^2+3 y^22 x y

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação diferencial de primeira ordem
dydx=x^2+3y^22xy
Isso é uma EDO homogênea, então vamos usar a substituição y=vx para transformá-la em uma equação separável.

Passo 2

Como o quociente x^2+3y^22xy é homogêneo de grau zero (numerador e denominador têm grau 2), definimos
y = v,x
que implica
dydx = v + xdvdx

Passo 3

Substituindo na EDO original temos
v + xdvdx = x^2+3(vx)^22x,(vx) =1+3v^22v
Então
xdvdx=1+3v^22v-v =1+v^22v

Passo 4

Separamos as variáveis:
2v1+v^2,dv = dxx
Integramos ambos os lados:
integral 2v1+v^2,dv = integral dxx Longrightarrow lnl(1+v^2r) = lnlvert xrvert + C

Passo 5

Exponentiando e voltando a y/x no lugar de v:
1+v^2=K,x Longrightarrow 1+l(yxr)^2=K,x
Multiplicando por x^2 obtemos a forma implícita da solução geral:

Resposta

x^2+y^2=C,x^3,
onde C é constante arbitrária.

Exercícios relacionados