Seja n >= 1. Mostre que:
7 mid(2^3 n-1).

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, para todo inteiro n>=1, temos 7mid(2^3n-1). O conteúdo envolvido é aritmética modular e a propriedade de potências em congruências.

Passo 2

Lembrando que a divisibilidade por 7 pode ser tratada por congruências: 7mid a se, e somente se, aequiv0pmod7.

Passo 3

Calculamos 2^3=8 e verificamos a congruência

Passo 4

8equiv1pmod7

Passo 5

Pela propriedade de potências em congruências, se 2^3equiv1pmod7, então

Passo 6

(2^3)^nequiv1^npmod7

Passo 7

Como 1^n=1, obtemos

Passo 8

2^3nequiv1pmod7

Passo 9

Logo

Passo 10

2^3n-1equiv0pmod7

Passo 11

Isto mostra que 7mid(2^3n-1) para todo n>=1.

Resposta

De fato, como 2^3equiv1pmod7 implica 2^3nequiv1pmod7, segue que 2^3n-1equiv0pmod7, ou seja, 7mid(2^3n-1) para todo n>=1.

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