Seja
. Mostre que:
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, para todo inteiro
, temos
. O conteúdo envolvido é aritmética modular e a propriedade de potências em congruências.
Passo 2
Lembrando que a divisibilidade por 7 pode ser tratada por congruências:
se, e somente se,
.
Passo 3
Calculamos
e verificamos a congruência
Passo 4
Passo 5
Pela propriedade de potências em congruências, se
, então
Passo 6
Passo 7
Como
, obtemos
Passo 8
Passo 9
Logo
Passo 10
Passo 11
Isto mostra que
para todo
.
Resposta
De fato, como
implica
, segue que
, ou seja,
para todo
.