Calcule a integral usando a substituição trigonométrica indicada. Esboce o triângulo retângulo associado, indicando o ângulo theta e os comprimentos dos lados.
integral x^2raizx^2-4 d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular
integral x^2raizx^2-4,dx
usando substituição trigonométrica adequada para expressões da forma raizx^2-a^2. Vamos usar a teoria de substituição x = asectheta com a=2. Também esboçaremos o triângulo retângulo associado, indicando theta e os comprimentos dos lados.

Passo 2

Fazemos a substituição
x = 2sectheta, dx = 2secthetatantheta,dtheta
Nesse caso
raizx^2-4 = raiz4sec^2theta -4 = 2tantheta
O triângulo retângulo associado satisfaz
sectheta = x2 implies hipotenusa=x,;adjacente=2,;oposto=raizx^2-4
Esboço: o ângulo theta está no vértice que toca o lado de comprimento 2; o lado oposto tem comprimento raizx^2-4 e a hipotenusa tem comprimento x.

Passo 3

Substituindo na integral temos
integral x^2raizx^2-4,dx = integral 4sec^2theta2tantheta,l(2secthetatantheta,dthetar) = 4integral sec^3theta,dtheta

Passo 4

Usamos a fórmula de redução para integral sec^3theta,dtheta:
integral sec^3theta,dtheta =12l(secthetatantheta+lnlvertsectheta+tanthetarvertr)+C
Multiplicando por 4:
4integral sec^3theta,dtheta =2l(secthetatantheta+lnlvertsectheta+tanthetarvertr)+C

Passo 5

Voltando a x:
sectheta = x2, tantheta = raizx^2-42
Logo
2,secthetatantheta =2cdotx2cdotraizx^2-42 =xraizx^2-42,
e
2lnl|sectheta+tanthetar| =2lnl|x+raizx^2-42r| =2lnl|x+raizx^2-4r| + C'
Portanto a integral fica
x2raizx^2-4+2lnl|x+raizx^2-4r|+C

Resposta

boxedx2raizx^2-4+2lnl|x+raizx^2-4r|+C

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