Calcule a integral usando a substituição trigonométrica indicada. Esboce o triângulo retângulo associado, indicando o ângulo
e os comprimentos dos lados.
Passo 1
O enunciado pede para calcular
usando substituição trigonométrica adequada para expressões da forma
. Vamos usar a teoria de substituição
com
. Também esboçaremos o triângulo retângulo associado, indicando
e os comprimentos dos lados.
Passo 2
Fazemos a substituição
Nesse caso
O triângulo retângulo associado satisfaz
Esboço: o ângulo
está no vértice que toca o lado de comprimento 2; o lado oposto tem comprimento
e a hipotenusa tem comprimento
.
Passo 3
Substituindo na integral temos
Passo 4
Usamos a fórmula de redução para
:
Multiplicando por 4:
Passo 5
Voltando a
:
Logo
e
Portanto a integral fica