Seja n >= 1. Mostre que:
3 mid(2^n+(-1)^n+1).

Passo 1

Enunciado e conteúdo: queremos mostrar que para todo inteiro n>=1, 3 divide 2^n + (-1)^n+1. O que faremos é usar aritmética modular e razão por casos com base na paridade de n.

Passo 2

Caso n par: escreva n=2k com k>=1. Então

Passo 3

2^n + (-1)^n+1 = 2^2k + (-1)^2k+1 = 4^k - 1

Passo 4

Como 4equiv1pmod3, segue 4^kequiv1^k=1pmod3. Logo

Passo 5

4^k -1 equiv1 -1 =0pmod3,

Passo 6

isto é, 3mid(2^n +(-1)^n+1) no caso par.

Passo 7

Caso n ímpar: escreva n=2k+1 com k 0. Então

Passo 8

2^n + (-1)^n+1 = 2^2k+1 + (-1)^2k+2 = 2cdot4^k +1

Passo 9

De novo, como 4equiv1pmod3, temos 4^kequiv1, logo

Passo 10

2cdot4^k +1 equiv2cdot1 +1 =3equiv0pmod3

Passo 11

Concluímos que em ambos os casos (par e ímpar) 3 divide 2^n +(-1)^n+1, provando a afirmação para todo n>=1.

Resposta

Para todo inteiro n>=1, vale 3midl(2^n +(-1)^n+1r).

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