( 6 pontos) Encontre a solução geral da EDO:
Passo 1
O enunciado dá a EDO
e pede a solução geral.
Percebemos que, dividindo tudo por (supondo
), obtemos
Percebemos que, dividindo tudo por
que é uma equação de Bernoulli de ordem
, da forma
Aqui
,
e
. Para resolvê-la, vamos usar a mudança
Passo 2
Derivando
em relação a
dá
Multiplicando a EDO original (na forma dividida por
) por
obtemos
O primeiro termo é
e o segundo é
. Logo surge a EDO linear em
:
Passo 3
Para resolver
calculamos o fator integrante
Multiplicando tudo por
fica
que é
Passo 4
Integramos em
:
onde
é constante de integração. Resta calcular
.
Passo 5
Fazendo integração por partes com
temos
Fazendo a divisão
e integrando, obtemos
Multiplicando por
entra no lado direito de
.
Passo 6
Portanto
Voltando a
e dividindo por
, achamos
Resposta
A solução geral da EDO é dada implicitamente por
onde
é constante arbitrária. Equivalentemente,