( 6 pontos) Encontre a solução geral da EDO:
x d yd x-y=x y^3 ln (1+x)

Passo 1

O enunciado dá a EDO
xdydx-y ;=; x,y^3ln(1+x)
e pede a solução geral.
Percebemos que, dividindo tudo por x (supondo xneq0), obtemos
dydx-1x,y ;=;ln(1+x);y^3,
que é uma equação de Bernoulli de ordem n=3, da forma
dydx+P(x),y = Q(x),y^n
Aqui P(x)=-tfrac1x, Q(x)=ln(1+x) e n=3. Para resolvê-la, vamos usar a mudança
u = y^,1-n = y^-2

Passo 2

Derivando u=y^-2 em relação a x
dudx = -2,y^-3,dydx
Multiplicando a EDO original (na forma dividida por x) por -2y^-3 obtemos
-2y^-3,dydx ;+;2x,y^-2 ;=;-2,ln(1+x)
O primeiro termo é dudx e o segundo é tfrac2x,u. Logo surge a EDO linear em u:
dudx + 2x,u = -2,ln(1+x)

Passo 3

Para resolver
dudx + 2x,u = -2,ln(1+x),
calculamos o fator integrante
mu(x) = expl(integral 2x,dxr) = x^2
Multiplicando tudo por x^2 fica
x^2dudx +2x,u = -2,x^2ln(1+x),
que é
ddxl(x^2,ur) = -2,x^2ln(1+x)

Passo 4

Integramos em x:
x^2,u = -2integral x^2ln(1+x),dx + C,
onde C é constante de integração. Resta calcular
integral x^2ln(1+x),dx.

Passo 5

Fazendo integração por partes com
A = ln(1+x), & dB = x^2,dx, dA = 11+x,dx, & B = x^33,
temos
integral x^2ln(1+x),dx = x^33ln(1+x) - 13integralx^31+x,dx
Fazendo a divisão x^3/(1+x)=x^2 - x +1 -1/(1+x) e integrando, obtemos
integral x^2ln(1+x),dx = x^33ln(1+x) - x^39 + x^26 - x3 + 13ln(1+x)
Multiplicando por -2 entra no lado direito de x^2u.

Passo 6

Portanto
x^2,u = -2integral x^2ln(1+x),dx + C = -23(x^3+1)ln(1+x) + 29x^3 - 13x^2 + 23x + C
Voltando a u=y^-2 e dividindo por x^2, achamos
1y^2 = -23,x^3+1x^2ln(1+x) + 29,x - 13 + 23,1x + Cx^2

Resposta

A solução geral da EDO é dada implicitamente por
1y^2 = -23,l(x + x^-2r)ln(1+x) + 29,x - 13 + 23,x + Cx^2,
onde C é constante arbitrária. Equivalentemente,
y(x) = pm1raiz-tfrac23(x + x^-2)ln(1+x) + tfrac29,x - tfrac13 + tfrac23x + tfracCx^2!

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