Calcule a integral usando a substituição trigonométrica indicada. Esboce o triângulo retângulo associado, indicando o ângulo theta e os comprimentos dos lados.
integral xraizx^2+4 x-5 d x [Dica: x^2+4 x-5=(x+2)^2-9]

Passo 1

O enunciado pede calcular
integral xraizx^2+4x-5;dx
usando substituição trigonométrica. O ponto-chave é reconhecer a expressão sob a raiz como sendo da forma u^2-a^2. Vamos completar o quadrado em x^2+4x-5, fazer u=x+2 e depois usar a substituição trigonométrica apropriada para raizu^2-9.

Passo 2

Complete o quadrado em x^2+4x-5:
x^2+4x-5 = (x+2)^2-9
Defina
u = x+2, du = dx, x = u-2
A integral passa a ser
integral xraizx^2+4x-5;dx = integral u-2raizu^2-9;du

Passo 3

Para tratar raizu^2-9 escolhemos a substituição
u = 3sectheta,
de modo que
raizu^2-9 = raiz9sec^2theta -9 = 3tantheta, du = 3secthetatantheta,dtheta
O triângulo retângulo associado tem:
– Ângulo theta;
– Hipotenusa u;
– Cateto adjacente 3;
– Cateto oposto raizu^2-9.
Substituindo u= x+2 de volta, os lados ficam hipotenusa x+2, adjacente 3 e oposto raizx^2+4x-5.

Passo 4

Substitua na integral em u:
integral u-2raizu^2-9;du = integral (3sectheta-2),l(3secthetatantheta,dthetar)3tantheta = integral l(3sec^2theta -2secthetar),dtheta

Passo 5

Integre termo a termo:
integral 3sec^2theta,dtheta = 3tantheta, integral 2sectheta,dtheta = 2lnl|sectheta+tanthetar|
Logo a primitiva em theta é
3tantheta ;-;2lnl|sectheta+tanthetar| ;+;C

Passo 6

Volte para x:
tantheta = raizu^2-93 = raizx^2+4x-53, sectheta = u3 = x+23
Então
3tantheta = raizx^2+4x-5, lnl|sectheta+tanthetar| = ln!l|x+2+raizx^2+4x-53r|
Absorvendo ln3 em C, obtemos a forma final:

Resposta

boxed raizx^2+4x-5 ;-;2lnl|,x+2 + raizx^2+4x-5r| ;+;C

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