Mostrar que o limite a seguir não existe.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa mostrar que o limite
não existe. Para isso, vamos usar conceitos de limites em várias variáveis e ver se o resultado depende do caminho que a gente escolhe para chegar no ponto
. Se o limite variar conforme o caminho, então ele não existe.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa esse limite. Estamos olhando para o comportamento da função
à medida que
se aproxima de
. Para investigar se o limite existe, uma estratégia é calcular o limite ao longo de diferentes caminhos que chegam até
e ver se obtemos o mesmo valor.
Passo 3
Vamos primeiro considerar o caminho onde
. Ou seja, estamos nos aproximando de
ao longo do eixo
. Substituindo
na função, temos:
Então, ao nos aproximarmos de
pelo eixo
, o limite é
.
Passo 4
Agora, vamos escolher um caminho diferente, onde
depende de
. Por exemplo, vamos deixar
. Isso significa que
se aproxima de
na mesma velocidade que
se aproxima de
. Substituindo
na função, temos:
Então, ao nos aproximarmos de
pelo caminho
, o limite é
.
Passo 5
Observamos que, ao escolher caminhos diferentes para nos aproximar de
, obtivemos limites diferentes:
pelo eixo
e
pelo caminho
. Como o limite depende do caminho escolhido, concluímos que o limite não existe.
Resposta
O limite
não existe porque diferentes caminhos de aproximação levam a valores diferentes.