Mostrar que o limite a seguir não existe.
lim (x, y) (0,0) x^3x^3+y^2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa mostrar que o limite lim (x, y) (0,0) x^3x^3+y^2 não existe. Para isso, vamos usar conceitos de limites em várias variáveis e ver se o resultado depende do caminho que a gente escolhe para chegar no ponto (0,0). Se o limite variar conforme o caminho, então ele não existe.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa esse limite. Estamos olhando para o comportamento da função x^3x^3+y^2 à medida que (x, y) se aproxima de (0,0). Para investigar se o limite existe, uma estratégia é calcular o limite ao longo de diferentes caminhos que chegam até (0,0) e ver se obtemos o mesmo valor.

Passo 3

Vamos primeiro considerar o caminho onde y = 0. Ou seja, estamos nos aproximando de (0,0) ao longo do eixo x. Substituindo y = 0 na função, temos:
x^3x^3+0^2 = x^3x^3 = 1
Então, ao nos aproximarmos de (0,0) pelo eixo x, o limite é 1.

Passo 4

Agora, vamos escolher um caminho diferente, onde y depende de x. Por exemplo, vamos deixar y = x^32. Isso significa que y se aproxima de 0 na mesma velocidade que x se aproxima de 0. Substituindo y = x^32 na função, temos:
x^3x^3+(x^32)^2 = x^3x^3+x^3 = x^32x^3 = 12
Então, ao nos aproximarmos de (0,0) pelo caminho y = x^32, o limite é 12.

Passo 5

Observamos que, ao escolher caminhos diferentes para nos aproximar de (0,0), obtivemos limites diferentes: 1 pelo eixo x e 12 pelo caminho y = x^32. Como o limite depende do caminho escolhido, concluímos que o limite não existe.

Resposta

O limite lim (x, y) (0,0) x^3x^3+y^2 não existe porque diferentes caminhos de aproximação levam a valores diferentes.

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