(8 pontos) Considere o problema de valor inicial
l d yd x=2 x+13 y^2-3 y(0)=0
(a) (2 pontos) Use o Teorema da Existência e Unicidade para mostrar que o PVI tem solução única.
(b) (1 ponto) Verifique que a EDO é separável e exata.
(c) (2 pontos) Resolva o PVI.
(d) (3 pontos)Encontre o intervalo de validade da solução.

Passo 1

O problema de valor inicial é
dfracdydx=dfrac2x+13y^2-3, y(0)=0
O conteúdo envolve o Teorema de Existência e Unicidade de EDOs e as técnicas de equações diferenciais separáveis e exatas.

Passo 2

Definimos
f(x,y)=2x+13y^2-3
Num retângulo em torno de (0,0) temos yapprox0implies3y^2-3approx-3neq0, logo f(x,y) é contínua perto de (0,0).

Passo 3

Calculamos
partial fpartial y =partialpartial yl(2x+13(y^2-1)r) =-(2x+1),6y3(y^2-1)^2 =-2y(2x+1)(y^2-1)^2,
que também é contínua em torno de (0,0). Pelo Teorema de Existência e Unicidade, existe solução única passando por (0,0).

Passo 4

Reescrevendo a EDO,
dydx=2x+13(y^2-1) Longrightarrow (3y^2-3),dy=(2x+1),dx
mostra que a equação é separável. Para exatidão, colocamos
-(2x+1),dx + (3y^2-3),dy=0,
onde M(x,y)=-(2x+1) e N(x,y)=3(y^2-1). Como
partial M/partial y=0 e partial N/partial x=0, a equação é exata.

Passo 5

Integramos em cada lado:
integral(3y^2-3),dy = integral(2x+1),dx ;Longrightarrow; y^3 -3y = x^2 + x + C
Usando y(0)=0 obtemos C=0. Portanto a solução implícita é
y^3 -3y = x^2 + x

Passo 6

O denominador da EDO some quando y^2=1. Verificamos onde a solução atinge y=pm1. Para y=1 não há x real, mas para y=-1
(-1)^3 -3(-1)=2 = x^2 + x ;Longrightarrow; x^2 + x -2=0 ;Longrightarrow; x=-2,;1
Como x=0 está entre -2 e 1, o intervalo de validade da solução contendo x=0 é
(-2,1)

Resposta

(a) O PVI admite solução única pois f(x,y) e partial f/partial y são contínuas perto de (0,0).
(b) A EDO é separável e exata.
(c) y^3 -3y = x^2 + x.
(d) Intervalo de validade: (-2,1).

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