Use a propriedade \mathcal{L}\left\{(-t)^{n} f(t)\right\}=F^{(n)}(s) para obter a transformada de Laplace das funções g(t)=t \operatorname{sen}(a t) e h_{n}(t)=t^{n} \mathrm{e}^{a t}(n=0,1,2, \ldots).

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\mathcal{L}\{t\sin(at)\}
e
\mathcal{L}\{t^n e^{at}\},\;n=0,1,2,\dots
usando a propriedade
\mathcal{L}\{(-t)^n f(t)\}=F^{(n)}(s),
onde F(s)=\mathcal{L}\{f(t)\}.

Passo 2

Para g(t)=t\sin(at), escolhemos f(t)=\sin(at) de modo que
F(s)=\mathcal{L}\{\sin(at)\}=\frac{a}{s^2+a^2}.
Como queremos \mathcal{L}\{t\sin(at)\}, note que
t\sin(at)=(-1)\bigl((-t)\sin(at)\bigr).
Da propriedade com n=1 temos
\mathcal{L}\{(-t)\sin(at)\}=F'(s).
Logo
\mathcal{L}\{t\sin(at)\}=-F'(s).

Passo 3

Calculamos F'(s):
F(s)=\frac{a}{s^2+a^2},
então
F'(s) =\frac{d}{ds}\Bigl(\frac{a}{s^2+a^2}\Bigr) =-\frac{2as}{(s^2+a^2)^2}.
Portanto
\mathcal{L}\{t\sin(at)\} =-F'(s) =\frac{2as}{(s^2+a^2)^2}.

Passo 4

Concluímos que
\boxed{\mathcal{L}\{t\sin(at)\} =\frac{2as}{(s^2+a^2)^2}.}

Passo 5

Agora para h_n(t)=t^n e^{at} usamos f(t)=e^{at} com
F(s)=\mathcal{L}\{e^{at}\} =\frac{1}{s-a}.
Pela propriedade,
\mathcal{L}\{(-t)^n e^{at}\} =F^{(n)}(s).
Como t^n=(-1)^n(-t)^n, segue
\mathcal{L}\{t^n e^{at}\} =(-1)^nF^{(n)}(s).

Passo 6

Basta calcular a derivada n-ésima de F(s)=1/(s-a). É conhecido que
F^{(n)}(s) =\frac{d^n}{ds^n}\Bigl((s-a)^{-1}\Bigr) =(-1)^n\frac{n!}{(s-a)^{n+1}}.
Logo
\mathcal{L}\{t^n e^{at}\} =(-1)^n\Bigl[(-1)^n\frac{n!}{(s-a)^{n+1}}\Bigr] =\frac{n!}{(s-a)^{n+1}}.

Resposta

\mathcal{L}\{t\sin(at)\} =\frac{2as}{(s^2+a^2)^2}, \qquad \mathcal{L}\{t^n e^{at}\} =\frac{n!}{(s-a)^{n+1}}.

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