Calcule a integral usando o Teorema Fundamental do Cálculo:
integral0^9(3 x raizx+2) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
integral0^9l(3xraizx+2r),dx
usando o Teorema Fundamental do Cálculo. Vamos precisar encontrar uma primitiva F(x) de f(x)=3xraizx+2 e depois usar
integral0^9f(x),dx = F(9)-F(0)

Passo 2

Primeiro, reescrevemos o integrando em potências de x. Note que
raizx=x^1/2, logo
3xraizx+2 = 3xcdot x^1/2 + 2 = 3x^3/2 + 2

Passo 3

Agora integramos termo a termo para achar a primitiva F(x):
  • Para 3x^3/2: integral 3x^3/2,dx = 3cdotx^5/2tfrac52 = 3cdot25,x^5/2 = 65x^5/2
  • Para 2: integral 2,dx = 2x
Portanto,
F(x) = 65x^5/2 + 2x

Passo 4

Aplicando o Teorema Fundamental do Cálculo:
integral0^9l(3xraizx+2r),dx = F(9)-F(0)
Calculamos
F(9)=65,(9)^5/2 + 2cdot 9, 9^5/2=(raiz9)^5=3^5=243,
F(9)=65cdot243 + 18 = 14585 + 905 = 15485,
e
F(0)=65,0^5/2+2cdot0=0
Logo,
integral0^9l(3xraizx+2r),dx = 15485 - 0 = 15485

Resposta

15485

Exercícios relacionados