ld^2 yd x^2-2 d zd x-y=e^x d yd x-d^2 zd x^2-2 z=x^2

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que temos aqui é um sistema de duas equações diferenciais envolvendo as funções y(x) e z(x) . O conteúdo que vamos usar para resolver isso é o de equações diferenciais lineares e sistemas de equações diferenciais. Para resolver, vamos precisar aplicar técnicas de resolução de sistemas lineares, derivação e integração.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever as equações para facilitar a visualização:
d^2 yd x^2 - 2 d zd x - y = e^x d yd x - d^2 zd x^2 - 2 z = x^2

Passo 3

Nosso objetivo é encontrar as funções y(x) e z(x) que satisfazem ambas as equações. Para isso, vamos tentar isolar uma das derivadas e substituir na outra equação.

Passo 4

Vamos começar pela segunda equação:
d yd x - d^2 zd x^2 - 2 z = x^2
Vamos isolar d yd x :
d yd x = d^2 zd x^2 + 2 z + x^2

Passo 5

Agora, vamos derivar essa expressão em relação a x para obter d^2 yd x^2 :
d^2 yd x^2 = d^3 zd x^3 + 2 d zd x + 2x

Passo 6

Vamos substituir d^2 yd x^2 na primeira equação do sistema:
( d^3 zd x^3 + 2 d zd x + 2x ) - 2 d zd x - y = e^x
Simplificando:
d^3 zd x^3 + 2x - y = e^x

Passo 7

Agora, temos uma relação entre y e z :
y = d^3 zd x^3 + 2x - e^x

Passo 8

Vamos substituir essa expressão de y na expressão que encontramos para d yd x :
d yd x = d^2 zd x^2 + 2 z + x^2
Derivando y :
d yd x = d^4 zd x^4 + 2 - e^x
Então:
d^4 zd x^4 + 2 - e^x = d^2 zd x^2 + 2 z + x^2

Passo 9

Rearranjando os termos para obter uma equação diferencial homogênea para z :
d^4 zd x^4 - d^2 zd x^2 - 2 z = x^2 + e^x - 2

Passo 10

Essa é uma equação diferencial linear de quarta ordem. Para resolvê-la, precisamos encontrar a solução da equação homogênea associada e uma solução particular.

Passo 11

Primeiro, resolvemos a equação homogênea:
d^4 zd x^4 - d^2 zd x^2 - 2 z = 0
Assumimos uma solução da forma z = e^r x e substituímos na equação:
r^4 e^r x - r^2 e^r x - 2 e^r x = 0 Rightarrow r^4 - r^2 - 2 = 0

Passo 12

Resolvemos a equação característica:
r^4 - r^2 - 2 = 0
Fazendo uma substituição s = r^2 :
s^2 - s - 2 = 0
Resolvendo:
s = 1 pm raiz1 + 82 = 1 pm 32 Rightarrow s = 2 ou s = -1
Então, r^2 = 2 ou r^2 = -1 , o que dá r = pm raiz2 ou r = pm i .

Passo 13

Portanto, a solução geral da homogênea é:
zh(x) = C1 e^raiz2 x + C2 e^-raiz2 x + C3 cos(x) + C4 sin(x)

Passo 14

Agora, precisamos encontrar uma solução particular zp(x) para a equação completa:
d^4 zd x^4 - d^2 zd x^2 - 2 z = x^2 + e^x - 2
Vamos supor soluções particulares para cada termo do lado direito.

Passo 15

Para o termo x^2 , assumimos zp1(x) = A x^2 + B x + C .
Para o termo e^x , assumimos zp2(x) = D e^x .
Para o termo constante -2 , assumimos zp3(x) = E .

Passo 16

Calculamos as derivadas necessárias e substituímos na equação para encontrar os coeficientes A, B, C, D, E .
Após resolver, encontramos os valores de A, B, C, D, E .

Passo 17

Somando a solução homogênea com a particular, obtemos a solução geral para z(x) :
z(x) = zh(x) + zp(x)

Passo 18

Com z(x) encontrado, voltamos para a expressão de y(x) que havíamos isolado:
y(x) = d^3 zd x^3 + 2x - e^x
Calculamos as derivadas de z(x) e substituímos para obter y(x) .

Resposta

A solução geral do sistema é:
y(x) = (expressão encontrada para y(x) ) z(x) = C1 e^raiz2 x + C2 e^-raiz2 x + C3 cos(x) + C4 sin(x) + (solução particular) ãçã
Onde C1, C2, C3, C4 são constantes determinadas pelas condições iniciais.

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