Passo 1
Beleza, vamos lá! O que temos aqui é um sistema de duas equações diferenciais envolvendo as funções
e
. O conteúdo que vamos usar para resolver isso é o de equações diferenciais lineares e sistemas de equações diferenciais. Para resolver, vamos precisar aplicar técnicas de resolução de sistemas lineares, derivação e integração.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever as equações para facilitar a visualização:
Passo 3
Nosso objetivo é encontrar as funções
e
que satisfazem ambas as equações. Para isso, vamos tentar isolar uma das derivadas e substituir na outra equação.
Passo 4
Vamos começar pela segunda equação:
Vamos isolar
:
Passo 5
Agora, vamos derivar essa expressão em relação a
para obter
:
Passo 6
Vamos substituir
na primeira equação do sistema:
Simplificando:
Passo 7
Agora, temos uma relação entre
e
:
Passo 8
Vamos substituir essa expressão de
na expressão que encontramos para
:
Derivando
:
Então:
Passo 9
Rearranjando os termos para obter uma equação diferencial homogênea para
:
Passo 10
Essa é uma equação diferencial linear de quarta ordem. Para resolvê-la, precisamos encontrar a solução da equação homogênea associada e uma solução particular.
Passo 11
Primeiro, resolvemos a equação homogênea:
Assumimos uma solução da forma
e substituímos na equação:
Passo 12
Resolvemos a equação característica:
Fazendo uma substituição
:
Resolvendo:
Então,
ou
, o que dá
ou
.
Passo 13
Portanto, a solução geral da homogênea é:
Passo 14
Agora, precisamos encontrar uma solução particular
para a equação completa:
Vamos supor soluções particulares para cada termo do lado direito.
Passo 15
Para o termo
, assumimos
.
Para o termo
, assumimos
.
Para o termo constante
, assumimos
.
Passo 16
Calculamos as derivadas necessárias e substituímos na equação para encontrar os coeficientes
.
Após resolver, encontramos os valores de
.
Passo 17
Somando a solução homogênea com a particular, obtemos a solução geral para
:
Passo 18
Com
encontrado, voltamos para a expressão de
que havíamos isolado:
Calculamos as derivadas de
e substituímos para obter
.
Resposta
A solução geral do sistema é:
Onde
são constantes determinadas pelas condições iniciais.