Calcule a integral usando o Teorema Fundamental do Cálculo:
integral0^pi2 tan x d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
integral0^pi2 tan x , dx
usando o Teorema Fundamental do Cálculo. Como o integrando tan x fica singular em x = pi2, trata-se de uma integral imprópria.

Passo 2

Para lidar com a singularidade em x=pi2, definimos
integral0^pi2 tan x , dx = limbtopi2^- integral0^b tan x , dx

Passo 3

Calculamos a antiderivada de tan x. Usando que tan x = sin xcos x e fazendo u=cos x, obtemos
integral tan x , dx = -lnl|cos xr| + C

Passo 4

Substituímos na definição por limite:
integral0^b tan x , dx = l[-lnlvertcos xrvertr]0^b = -lnl|cos br| - l(-lnl|cos 0r|r) = -lnl|cos br|
Como cos b to 0^+ quando btopi2^-, temos
-lnl|cos br| ;longrightarrow; +infty

Resposta

A integral diverge (não converge a um valor finito); mais precisamente,
integral0^pi2 tan x , dx = +infty

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