Calcule a integral usando o Teorema Fundamental do Cálculo:
integralpi6^pi3(x+3cos ^2 x) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
integralpi6^pi3l(x + 3cos^2 xr),dx
usando o Teorema Fundamental do Cálculo. Precisamos encontrar uma primitiva da função integranda e depois avaliar nos limites pi6 e pi3.

Passo 2

Vamos achar uma primitiva de cada termo. Para x, uma primitiva é tfracx^22. Para 3sec^2 x (já que cos^-2x=sec^2x), uma primitiva é 3tan x. Logo, uma primitiva geral é
F(x) = x^22 + 3tan x

Passo 3

Pelo Teorema Fundamental do Cálculo,
integralpi6^pi3l(x + 3cos^-2xr),dx = F!l(tfracpi3r) ;-; F!l(tfracpi6r)
Substituindo,
F!l(tfracpi3r) = 12l(tfracpi3r)^2 + 3tan!l(tfracpi3r), F!l(tfracpi6r) = 12l(tfracpi6r)^2 + 3tan!l(tfracpi6r)

Passo 4

Agora simplificamos cada parcela:
12l(tfracpi3r)^2 - 12l(tfracpi6r)^2 = pi^218 - pi^272 = pi^224,
3l(tan(tfracpi3) - tan(tfracpi6)r) = 3l(raiz3 - tfracraiz33r) = 2raiz3
Somando essas duas parcelas, obtemos o valor da integral.

Resposta

pi^224 + 2raiz3

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