Calcule a integral usando o Teorema Fundamental do Cálculo:
integral0^pi d x1+sin x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
integral0^pidx1+sin x
usando o Teorema Fundamental do Cálculo. Vamos precisar encontrar uma primitiva da função f(x)=11+sin x, via manipulação algébrica e identidades trigonométricas, e depois avaliar essa primitiva nos limites 0 e pi.

Passo 2

Racionalizamos o denominador multiplicando numerador e denominador por (1-sin x):
11+sin x =1-sin x(1+sin x)(1-sin x) =1-sin x1-sin^2 x =1-sin xcos^2 x =1cos^2 x-sin xcos^2 x =sec^2 x-sec xtan x

Passo 3

Agora integramos termo a termo. Sabendo que
integral sec^2 x,dx=tan x e
integral sec xtan x,dx=sec x,
uma primitiva é
F(x)=integrall(sec^2 x-sec xtan xr),dx =tan x-sec x + C

Passo 4

Pelo Teorema Fundamental do Cálculo,
integral0^pidx1+sin x =F(pi)-F(0)
Calculamos:
em x=pi temos tanpi=0 e secpi=-1, logo
,F(pi)=0-(-1)=1
Em x=0 temos tan0=0 e sec0=1, logo
,F(0)=0-1=-1
Portanto
integral0^pidx1+sin x =1 - (-1)=2

Resposta

2

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