Exercício 2. Calcule as integrais abaixo:
(1,5)
\int_{1}^{2} \sqrt{x} \ln x \mathrm{~d} x

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral definida
\int_{1}^{2} \sqrt{x}\,\ln x\,\mathrm{d}x.
Informações dadas:
  • O integrando é \sqrt{x}\,\ln x.
  • Os limites de integração são 1 e 2.
    O que se pede: avaliar a integral definida acima e obter um valor final numérico (ou em forma fechada envolvendo \ln 2 e \sqrt{2}).

Passo 2

Método escolhido: integração por partes. Vou explicar a fórmula e o porquê.
A fórmula de integração por partes é
\int u\,\mathrm{d}v = u v - \int v\,\mathrm{d}u,
onde u é uma função que escolhemos para diferenciar (ficar mais simples ao derivar) e \mathrm{d}v é a parte que integramos facilmente. Aqui é uma escolha natural tomar u=\ln x porque sua derivada é simples ( \dfrac{1}{x}), e tomar \mathrm{d}v=\sqrt{x}\,\mathrm{d}x porque é fácil integrar potências de x.

Passo 3

Fazer as escolhas e calcular u,\mathrm{d}u,v:
u=\ln x,\qquad \mathrm{d}u=\frac{1}{x}\,\mathrm{d}x,
\mathrm{d}v=\sqrt{x}\,\mathrm{d}x = x^{1/2}\,\mathrm{d}x.
Agora calcular v=\int \mathrm{d}v=\int x^{1/2}\,\mathrm{d}x. Integramos potência por potência:
\int x^{1/2}\,\mathrm{d}x = \frac{x^{3/2}}{3/2} = \frac{2}{3}x^{3/2}.
Portanto
v=\frac{2}{3}x^{3/2}.

Passo 4

Aplicar a fórmula de integração por partes:
\int \sqrt{x}\,\ln x\,\mathrm{d}x = u v - \int v\,\mathrm{d}u.
Substituindo u,v,\mathrm{d}u:
\int \sqrt{x}\,\ln x\,\mathrm{d}x = \frac{2}{3}x^{3/2}\ln x - \int \frac{2}{3}x^{3/2}\cdot\frac{1}{x}\,\mathrm{d}x.
Simplificar o integrando restante:
\frac{2}{3}x^{3/2}\cdot\frac{1}{x} = \frac{2}{3}x^{1/2}.
Então
\int \sqrt{x}\,\ln x\,\mathrm{d}x = \frac{2}{3}x^{3/2}\ln x - \frac{2}{3}\int x^{1/2}\,\mathrm{d}x.
Já calculamos \int x^{1/2}\,\mathrm{d}x = \dfrac{2}{3}x^{3/2}, portanto
\int \sqrt{x}\,\ln x\,\mathrm{d}x = \frac{2}{3}x^{3/2}\ln x - \frac{2}{3}\cdot\frac{2}{3}x^{3/2} + C = \frac{2}{3}x^{3/2}\ln x - \frac{4}{9}x^{3/2} + C.
Podemos factorar x^{3/2} se quiser:
F(x)=x^{3/2}\!\left(\frac{2}{3}\ln x - \frac{4}{9}\right)+C.

Passo 5

Avaliar a integral definida de 1 a 2. Usar F(x) como primitiva encontrada:
\int_{1}^{2} \sqrt{x}\,\ln x\,\mathrm{d}x = F(2)-F(1).
Calcular F(2):
2^{3/2} = 2\sqrt{2},
F(2)= (2\sqrt{2})\!\left(\frac{2}{3}\ln 2 - \frac{4}{9}\right) = 2\sqrt{2}\left(\frac{6\ln 2 - 4}{9}\right) = \frac{4\sqrt{2}}{9}\left(3\ln 2 - 2\right).
Calcular F(1):
1^{3/2}=1,\qquad \ln 1=0,
F(1)= 1\!\left(\frac{2}{3}\cdot 0 - \frac{4}{9}\right) = -\frac{4}{9}.
Portanto
\int_{1}^{2} \sqrt{x}\,\ln x\,\mathrm{d}x = \frac{4\sqrt{2}}{9}\left(3\ln 2 - 2\right) - \left(-\frac{4}{9}\right) = \frac{4}{9}\Bigl(\sqrt{2}\,(3\ln 2 - 2) + 1\Bigr).

Resposta

\dfrac{4}{9}\bigl(\sqrt{2}\,(3\ln 2 - 2)+1\bigr)

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