Exercício 2. Calcule as integrais abaixo:
Passo 1
O enunciado pede calcular a integral definida
Informações dadas:
- O integrando é
. - Os limites de integração são
e .
O que se pede: avaliar a integral definida acima e obter um valor final numérico (ou em forma fechada envolvendoe ).
Passo 2
Método escolhido: integração por partes. Vou explicar a fórmula e o porquê.
A fórmula de integração por partes é
A fórmula de integração por partes é
onde
é uma função que escolhemos para diferenciar (ficar mais simples ao derivar) e
é a parte que integramos facilmente. Aqui é uma escolha natural tomar
porque sua derivada é simples (
), e tomar
porque é fácil integrar potências de
.
Passo 3
Fazer as escolhas e calcular
:
Agora calcular
. Integramos potência por potência:
Portanto
Passo 4
Aplicar a fórmula de integração por partes:
Substituindo
:
Simplificar o integrando restante:
Então
Já calculamos
, portanto
Podemos factorar
se quiser:
Passo 5
Avaliar a integral definida de
a
. Usar
como primitiva encontrada:
Calcular
:
Calcular
:
Portanto