Calcule a integral utilizando frações parciais
integral d xx(x^2+4)^2

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a integral de 1x(x^2+4)^2 em relação a x, utilizando frações parciais. Isso está ligado ao conteúdo de cálculo integral, especificamente técnicas de integração usando frações parciais. Para resolver isso, vamos precisar decompor a fração em expressões mais simples que são mais fáceis de integrar.

Passo 2

Primeiro, vamos decompor a fração 1x(x^2+4)^2 em frações parciais. Como temos um denominador com fatores diferentes ( x e (x^2+4)^2), vamos escrever a fração como a soma de termos com esses denominadores separados. A forma geral será:
1x(x^2+4)^2 = Ax + Bx + Cx^2+4 + Dx + E(x^2+4)^2
Aqui, A, B, C, D e E são constantes que precisamos encontrar.

Passo 3

Agora, vamos multiplicar os dois lados da equação pelo denominador comum x(x^2+4)^2 para eliminar as frações:
1 = A(x^2+4)^2 + (Bx + C)x(x^2+4) + (Dx + E)x

Passo 4

Vamos expandir cada termo para simplificar:
  1. A(x^2+4)^2 = A(x^4 + 8x^2 + 16)
  2. (Bx + C)x(x^2+4) = (Bx + C)(x^3 + 4x) = Bx^4 + 4Bx^2 + Cx^3 + 4Cx
  3. (Dx + E)x = Dx^2 + Ex
Então, temos:
1 = A(x^4 + 8x^2 + 16) + Bx^4 + 4Bx^2 + Cx^3 + 4Cx + Dx^2 + Ex

Passo 5

Vamos agrupar termos semelhantes:
1 = (A + B)x^4 + Cx^3 + (8A + 4B + D)x^2 + (4C + E)x + 16A

Passo 6

Agora, igualamos os coeficientes dos termos de mesmo grau de x nos dois lados da equação. Do lado esquerdo, temos apenas 1, que é o termo constante. Portanto:
  • Coeficiente de x^4: A + B = 0
  • Coeficiente de x^3: C = 0
  • Coeficiente de x^2: 8A + 4B + D = 0
  • Coeficiente de x: 4C + E = 0
  • Termo constante: 16A = 1

Passo 7

Vamos resolver esse sistema de equações:
  1. 16A = 1 A = 116
  2. A + B = 0 B = -A = -116
  3. C = 0
  4. 4C + E = 0 ⇒ Como C = 0, então E = 0
  5. 8A + 4B + D = 0:
    • Substituindo A = 116 e B = -116:
8(116) + 4(-116) + D = 0 816 - 416 + D = 0 416 + D = 0 14 + D = 0 D = -14

Passo 8

Agora que encontramos todos os valores:
  • A = 116
  • B = -116
  • C = 0
  • D = -14
  • E = 0
Substituindo na decomposição inicial:
1x(x^2+4)^2 = 116x + -116x x^2+4 + -14x (x^2+4)^2

Passo 9

Agora, vamos integrar cada termo separadamente:
integral 1x(x^2+4)^2 dx = 116 integral 1x dx - 116 integral xx^2+4 dx - 14 integral x(x^2+4)^2 dx
Vamos resolver cada integral:
  1. 116 integral 1x dx = 116 ln|x| + C1
  2. -116 integral xx^2+4 dx:
    • Seja u = x^2+4, então du = 2x dx du2 = x dx
    • A integral se torna: -116 cdot 12 integral 1u du = -132 ln|u| + C2 = -132 ln(x^2+4) + C2
  3. -14 integral x(x^2+4)^2 dx:
    • Seja v = x^2+4, então dv = 2x dx dv2 = x dx
    • A integral se torna: -14 cdot 12 integral v^-2 dv = -18 cdot ( -v^-1 ) + C3 = 18 cdot 1x^2+4 + C3

Passo 10

Juntando tudo e simplificando as constantes:
integral 1x(x^2+4)^2 dx = 116 ln|x| - 132 ln(x^2+4) + 18(x^2+4) + C

Resposta

A integral é igual a 116 ln|x| - 132 ln(x^2+4) + 18(x^2+4) + C, onde C é a constante de integração.

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