Calcule a integral utilizando frações parciais
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a integral de
em relação a
, utilizando frações parciais. Isso está ligado ao conteúdo de cálculo integral, especificamente técnicas de integração usando frações parciais. Para resolver isso, vamos precisar decompor a fração em expressões mais simples que são mais fáceis de integrar.
Passo 2
Primeiro, vamos decompor a fração
em frações parciais. Como temos um denominador com fatores diferentes (
e
), vamos escrever a fração como a soma de termos com esses denominadores separados. A forma geral será:
Aqui,
,
,
,
e
são constantes que precisamos encontrar.
Passo 3
Agora, vamos multiplicar os dois lados da equação pelo denominador comum
para eliminar as frações:
Passo 4
Vamos expandir cada termo para simplificar:
Então, temos:
Passo 5
Vamos agrupar termos semelhantes:
Passo 6
Agora, igualamos os coeficientes dos termos de mesmo grau de
nos dois lados da equação. Do lado esquerdo, temos apenas 1, que é o termo constante. Portanto:
- Coeficiente de
: - Coeficiente de
: - Coeficiente de
: - Coeficiente de
: - Termo constante:
Passo 7
Vamos resolver esse sistema de equações:
-
⇒ -
⇒ -
-
⇒ Como , então -
: - Substituindo
e :
- Substituindo
Passo 8
Agora que encontramos todos os valores:
Substituindo na decomposição inicial:
Passo 9
Agora, vamos integrar cada termo separadamente:
Vamos resolver cada integral:
-
-
: - Seja
, então ⇒ - A integral se torna:
- Seja
-
: - Seja
, então ⇒ - A integral se torna:
- Seja
Passo 10
Juntando tudo e simplificando as constantes:
Resposta
A integral é igual a
, onde
é a constante de integração.