Considere a função Gama definida pela seguinte integral imprópria:
Gamma(p)=integral0^infty e^-t t^p-1 d t, p>0
Calcule L(t^1 / 2)(s), sabendo que L(12)=raizpi.

Passo 1

Resumindo o enunciado: queremos calcular a transformada de Laplace de t^1/2, isto é
Lt^1/2(s)=integral0^inftye^-stt^1/2,dt
Vamos relacionar essa integral com a definição da função Gama e usar a propriedade Gamma(p+1)=p,Gamma(p).

Passo 2

Fazemos a mudança de variável u=st. Então t=u/s e dt=du/s. Substituindo na integral:
Lt^1/2(s) =integral0^inftye^-ul(usr)^1/2dus =s^-3/2integral0^inftye^-uu^1/2,du

Passo 3

Reconhecemos que
integral0^inftye^-uu^1/2,du=Gammal(tfrac32r)
Pela relação Gamma(p+1)=p,Gamma(p) com p=tfrac12, segue
Gammal(tfrac32r) =tfrac12,Gammal(tfrac12r) =tfrac12,raizpi

Passo 4

Substituindo Gamma(tfrac32)=tfracraizpi2 no resultado do Passo 2, obtemos
Lt^1/2(s) =s^-3/2,raizpi2 =raizpi2,s^3/2

Resposta

Lt^1/2(s)=raizpi2,s^3/2

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