Calcule a integral utilizando a integração por partes:
\int(\pi-x) \cos \pi x dx

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int(\pi - x)\,\cos(\pi x)\,dx
O conteúdo principal aqui é a técnica de integração por partes, que se baseia na fórmula
\int u\,dv = u\,v - \int v\,du.

Passo 2

Escolhemos as partes u e dv de modo a simplificar a integral remanescente:
u = \pi - x, \quad dv = \cos(\pi x)\,dx.
Então calculamos
du = -\,dx \quad\text{e}\quad v = \int \cos(\pi x)\,dx = \frac{1}{\pi}\,\sin(\pi x).

Passo 3

Aplicando a fórmula de partes,
\int(\pi - x)\cos(\pi x)\,dx = u\,v \;-\;\int v\,du = (\pi - x)\frac{\sin(\pi x)}{\pi} \;-\;\int \frac{\sin(\pi x)}{\pi}\,(-\,dx).
Isto é,
\int(\pi - x)\cos(\pi x)\,dx = \frac{\pi - x}{\pi}\,\sin(\pi x) \;+\;\frac{1}{\pi}\int \sin(\pi x)\,dx.

Passo 4

Falta calcular \displaystyle \int \sin(\pi x)\,dx:
\int \sin(\pi x)\,dx = -\frac{1}{\pi}\cos(\pi x).
Substituindo de volta,
\int(\pi - x)\cos(\pi x)\,dx = \frac{\pi - x}{\pi}\,\sin(\pi x) \;+\;\frac{1}{\pi}\Bigl(-\frac{1}{\pi}\cos(\pi x)\Bigr) = \frac{\pi - x}{\pi}\,\sin(\pi x) \;-\;\frac{1}{\pi^{2}}\cos(\pi x) + C.

Resposta

\boxed{\int(\pi - x)\cos(\pi x)\,dx = \frac{\pi - x}{\pi}\,\sin(\pi x) - \frac{1}{\pi^{2}}\cos(\pi x) + C.}

Exercícios relacionados