Questão: Determine se as séries abaixo são convergentes ou divergentes, explicando o critério que você utilizou.
\sum_{1}^{\infty} \frac{n^{2}+1}{n^{3}+1}

Passo 1

O enunciado pede para estudar a convergência da série de termos positivos
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^{2}+1}{n^{3}+1}.
Isso envolve identificar um critério para séries de termos positivos; aqui vamos usar o Teste de Comparação por Limite comparando com a série harmônica, que sabemos ser divergente.

Passo 2

Definimos
a_n = \frac{n^{2}+1}{n^{3}+1}
e escolhemos como série de referência
b_n = \frac{1}{n},
pois para grandes n temos \tfrac{n^2+1}{n^3+1}\sim \tfrac{n^2}{n^3}=\tfrac1n.

Passo 3

Calculamos o limite
L = \lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{b_n} =\lim_{n\to\infty}n\frac{n^{2}+1}{n^{3}+1} =\lim_{n\to\infty}\frac{n^{3}+n}{n^{3}+1} =1.
Como 0< L<\infty, pelo Teste de Comparação por Limite as duas séries têm o mesmo comportamento.

Passo 4

A série de referência \sum b_n=\sum \tfrac1n é a série harmônica e diverge. Logo, a série original também diverge.

Resposta

A série diverge pelo Critério de Comparação por Limite com a série harmônica.

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