Usando o método das séries de potências, resolva o problema de valor inicial abaixo: (2,0)
\left\{\left(4-x^{2}\right) y^{\prime \prime}+2 y=0\right.
y(0)=0, y^{\prime}(0)=1

Passo 1

O enunciado pede para resolver por séries de potências, em torno de x=0, o problema de valor inicial
(4 - x^2)\,y'' + 2\,y = 0, \quad y(0)=0,\quad y'(0)=1,
e determinar a solução como uma série com raio de convergência \lvert x\rvert<2. Vamos expandir
y(x)=\sum_{n=0}^{\infty}a_n\,x^n
e achar uma relação de recorrência para os coeficientes a_n.

Passo 2

Primeiro calculemos as derivadas em série:
y'(x)=\sum_{n=1}^{\infty}n\,a_n\,x^{n-1}, \quad y''(x)=\sum_{n=2}^{\infty}n(n-1)\,a_n\,x^{n-2}.
Multiplicando pela função nos termos da equação:
(4 - x^2)\,y'' = 4\sum_{n=2}^{\infty}n(n-1)a_n\,x^{n-2} - \sum_{n=2}^{\infty}n(n-1)a_n\,x^n,
e também temos
2\,y = 2\sum_{n=0}^{\infty}a_n\,x^n.

Passo 3

Reindexando o primeiro somatório m=n-2 na parte 4y'', obtemos
4\sum_{m=0}^{\infty}(m+2)(m+1)a_{m+2}\,x^m - \sum_{n=2}^{\infty}n(n-1)a_n\,x^n +2\sum_{n=0}^{\infty}a_n\,x^n = 0.
Agora, igualando termo a termo para cada potência x^k, nota-se que para k\ge2
4\,(k+2)(k+1)\,a_{k+2} +2\,a_k - k(k-1)\,a_k =0.
Isto leva à recorrência
a_{k+2} =\frac{k(k-1)-2}{4\,(k+2)(k+1)}\,a_k =\frac{(k-2)(k+1)}{4\,(k+2)(k+1)}\,a_k =\frac{k-2}{4\,(k+2)}\,a_k.

Passo 4

As condições iniciais dão
y(0)=a_0=0, \quad y'(0)=a_1=1.
Como a_0=0, todos os coeficientes de ordem par saem nulos por iteração da recorrência, ficando apenas termos ímpares.

Passo 5

Para os índices ímpares, definimos k=2m+1. A recorrência torna-se
a_{2m+3} =\frac{(2m+1)-2}{4\,(2m+3)}\,a_{2m+1} =\frac{2m-1}{4\,(2m+3)}\,a_{2m+1}.
Começando em m=0 com a_1=1, obtemos os primeiros termos:
a_3 = -\frac{1}{12}, \quad a_5 = -\frac{1}{240}, \quad a_7 = -\frac{1}{2240}, \;\dots

Resposta

A solução que satisfaz y(0)=0 e y'(0)=1 é
y(x) = \sum_{m=0}^{\infty} a_{2m+1}\,x^{2m+1} = x - \frac{1}{12}\,x^3 - \frac{1}{240}\,x^5 - \frac{1}{2240}\,x^7 - \cdots,
válida para \lvert x\rvert<2.

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