Usando o método das séries de potências, resolva o problema de valor inicial abaixo:
Passo 1
O enunciado pede para resolver por séries de potências, em torno de
, o problema de valor inicial
e determinar a solução como uma série com raio de convergência
. Vamos expandir
e achar uma relação de recorrência para os coeficientes
.
Passo 2
Primeiro calculemos as derivadas em série:
Multiplicando pela função nos termos da equação:
e também temos
Passo 3
Reindexando o primeiro somatório
na parte
, obtemos
Agora, igualando termo a termo para cada potência
, nota-se que para
Isto leva à recorrência
Passo 4
As condições iniciais dão
Como
, todos os coeficientes de ordem par saem nulos por iteração da recorrência, ficando apenas termos ímpares.
Passo 5
Para os índices ímpares, definimos
. A recorrência torna-se
Começando em
com
, obtemos os primeiros termos:
Resposta
A solução que satisfaz
e
é
válida para
.