( 2 pts) Considere o cilindro elíptico 2 x^{2}+3 y^{2}=1 e o plano z=2 y. Essas duas superfícies se interceptam e resulta numa elipse C.
(a) Calcule a velocidade, \mathbf{v}(P)=\left.\frac{d \mathbf{r}}{d t}\right|_{P}, avaliada no ponto P
(b) Calcule a aceleração, \mathbf{a}(P)=\left.\frac{d^{2} \mathbf{r}}{d t^{2}}\right|_{P}, avaliada no ponto P
(c) Calcule o curvatura, \kappa, no ponto P, utilizando a equação \kappa(P)=\frac{\|\mathbf{v}(P) \times \mathbf{a}(P)\|}{\|\mathbf{v}(P)\|^{3}} onde P\left(0, \frac{1}{\sqrt{3}}, \frac{2}{\sqrt{3}}\right)
Passo 1
O enunciado nos pede a velocidade \mathbf{v}(P)=\bigl.\tfrac{d\mathbf{r}}{dt}\bigr|_{P}, a aceleração \mathbf{a}(P)=\bigl.\tfrac{d^2\mathbf{r}}{dt^2}\bigr|_{P} e a curvatura \displaystyle \kappa(P)=\frac{\|\mathbf{v}(P)\times\mathbf{a}(P)\|}{\|\mathbf{v}(P)\|^3}
no ponto
da curva C obtida pela interseção do cilindro 2x^2+3y^2=1 com o plano z=2y. Vamos usar parametrização de curvas para obter \mathbf{r}(t), depois derivar.
Passo 2
Escolhemos a parametrização do cilindro elíptico
x=\tfrac{1}{\sqrt{2}}\cos t,\quad y=\tfrac{1}{\sqrt{3}}\sin t