Questão 2

Prove que I \subseteq \mathbb{R} é um intervalo se, e somente se, dados a<b \in I, a<x<b \Rightarrow x \in I.
Sugestão: para mostrar que I é um intervalo se dados a<b \in I, a<x<b \Rightarrow x \in I, sejam \alpha=\inf (I) se I é limitado inferiormente e \beta=\sup (I) se I é limitado superiormente. Usando as definições de ínfimo e supremo mostre que I \subseteq(\alpha, \infty) e ( \alpha, \infty ) \subseteq I se I é limitado inferiormente, que I \subseteq(-\infty, \beta) e (-\infty, \beta) \subseteq I se I é limitado superiormente e que I \subseteq(\alpha, \beta) e (\alpha, \beta) \subseteq I se I é limitado.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que um subconjunto I\subseteq\mathbb{R} é um intervalo (isto é, coincide com um conjunto da forma (a,b), [a,b], (a,b], [a,b), (-\infty,b), (a,\infty), etc.) se, e somente se, ele satisfaz a propriedade “se a<b e a,b\in I, então todo x com a<x<b também pertence a I”.
Conteúdo principal: uso das definições de ínfimo e supremo para caracterizar I em função de seus “extremos” e a propriedade de convexidade em \mathbb{R}.

Passo 2

Primeiro, mostro que todo intervalo padrão J\subseteq\mathbb{R} satisfaz a condição: se a<b e a,b\in J, então qualquer x com a<x<b está em J.
Por exemplo, se J=[c,d] e a,b\in[c,d] com a<b, então c\le a< b\le d. Para qualquer x tal que a<x<b temos c\le a<x<b\le d, logo x\in[c,d]. O mesmo raciocínio vale para (c,d), (c,d], [c,d), (-\infty,d), (c,\infty), (-\infty,\infty), etc.
Conclusão: todo intervalo “clássico” é convexo, isto é, satisfaz a propriedade pedida.

Passo 3

Agora, suponha que I\subseteq\mathbb{R} satisfaça a propriedade
a<b,\quad a,b\in I \quad\Longrightarrow\quad \text{se }a<x<b\text{ então }x\in I.ã
Se I=\varnothing ou I=\{p\}, é claro que I coincide com um dos intervalos “degenerados” \varnothing ou \{p\}.
Caso contrário, I tem pelo menos dois pontos distintos e definimos
\alpha=\inf I\in[-\infty,\,+\infty), \quad \beta=\sup I\in(-\infty,\,\infty].
(a) Para qualquer x\in I, por definição de ínfimo e supremo, vale \alpha\le x\le\beta. Logo
I\subseteq[\alpha,\beta].
(b) Seja agora x com \alpha<x<\beta. Como \alpha é ínfimo, existe a\in I tal que \alpha\le a<x. Como \beta é supremo, existe b\in I tal que x<b\le\beta. Então a<x<b e, pela hipótese, x\in I. Assim
(\alpha,\beta)\subseteq I.

Passo 4

Com as inclusões
(\alpha,\beta)\subseteq I\subseteq[\alpha,\beta],
vemos que I é exatamente um dos seguintes intervalos (onde usamos que \alpha ou \beta podem ser \pm\infty):
  • Se \alpha>-\infty e \beta<+\infty, então
  • Se \alpha\in I e \beta\in I, tem I=[\alpha,\beta].
  • Se \alpha\notin I e \beta\in I, tem I=(\alpha,\beta].
  • Se \alpha\in I e \beta\notin I, tem I=[\alpha,\beta).
  • Se \alpha\notin I e \beta\notin I, tem I=(\alpha,\beta).
  • Se \alpha>-\infty e \beta=+\infty, análogo para [\,\alpha,\infty) ou (\alpha,\infty).
  • Se \alpha=-\infty e \beta<+\infty, análogo para (-\infty,\beta] ou (-\infty,\beta).
  • Se \alpha=-\infty e \beta=+\infty, então I=\mathbb{R}.
Em todos os casos, I coincide com um intervalo no sentido “padrão”.

Resposta

Portanto, I é um intervalo se, e somente se, sempre que a<b com a,b\in I, todo x entre a e b pertence a I.

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