Questão 2
Prove que
é um intervalo se, e somente se, dados
.
Sugestão: para mostrar que
é um intervalo se dados
, sejam
se
é limitado inferiormente e
se
é limitado superiormente. Usando as definições de ínfimo e supremo mostre que
e (
)
se
é limitado inferiormente, que
e
se
é limitado superiormente e que
e
se
é limitado.
Sugestão: para mostrar que
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que um subconjunto
é um intervalo (isto é, coincide com um conjunto da forma
,
,
,
,
,
, etc.) se, e somente se, ele satisfaz a propriedade “se
e
, então todo
com
também pertence a
”.
Conteúdo principal: uso das definições de ínfimo e supremo para caracterizar em função de seus “extremos” e a propriedade de convexidade em
.
Conteúdo principal: uso das definições de ínfimo e supremo para caracterizar
Passo 2
Primeiro, mostro que todo intervalo padrão
satisfaz a condição: se
e
, então qualquer
com
está em
.
Por exemplo, se e
com
, então
. Para qualquer
tal que
temos
, logo
. O mesmo raciocínio vale para
,
,
,
,
,
, etc.
Conclusão: todo intervalo “clássico” é convexo, isto é, satisfaz a propriedade pedida.
Por exemplo, se
Conclusão: todo intervalo “clássico” é convexo, isto é, satisfaz a propriedade pedida.
Passo 3
Agora, suponha que
satisfaça a propriedade
Se
ou
, é claro que
coincide com um dos intervalos “degenerados”
ou
.
Caso contrário, tem pelo menos dois pontos distintos e definimos
Caso contrário,
(a) Para qualquer
, por definição de ínfimo e supremo, vale
. Logo
(b) Seja agora
com
. Como
é ínfimo, existe
tal que
. Como
é supremo, existe
tal que
. Então
e, pela hipótese,
. Assim
Passo 4
Com as inclusões
vemos que
é exatamente um dos seguintes intervalos (onde usamos que
ou
podem ser
):
- Se
e , então - Se
e , tem . - Se
e , tem . - Se
e , tem . - Se
e , tem . - Se
e , análogo para ou . - Se
e , análogo para ou . - Se
e , então .
Em todos os casos,
coincide com um intervalo no sentido “padrão”.
Resposta
Portanto,
é um intervalo se, e somente se, sempre que
com
, todo
entre
e
pertence a
.