Calcule a integral utilizando substituição \int\left(\frac{1}{x}+\right. \left.\operatorname{sec} ^{2}(\pi x)\right) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\displaystyle \int \bigl(\tfrac{1}{x} + \operatorname{sec}^2(\pi x)\bigr)\,dx
usando substituição. O conteúdo aqui envolve propriedade de soma de integrais e a técnica de substituição para integrar \operatorname{sec}^2(\pi x).

Passo 2

Separamos a integral da soma em duas parcelas, pois a integral de uma soma é a soma das integrais:
\int \bigl(\tfrac{1}{x} + \operatorname{sec}^2(\pi x)\bigr)\,dx = \int \tfrac{1}{x}\,dx \;+\; \int \operatorname{sec}^2(\pi x)\,dx.

Passo 3

Para a primeira parcela usamos a fórmula básica
\int \tfrac{1}{x}\,dx = \ln\bigl|x\bigr| + C_1.

Passo 4

Para a segunda parcela fazemos a substituição
u = \pi x \quad\Longrightarrow\quad du = \pi\,dx \quad\Longrightarrow\quad dx = \frac{du}{\pi}.
Assim
\int \operatorname{sec}^2(\pi x)\,dx = \int \operatorname{sec}^2(u)\,\frac{du}{\pi} = \frac{1}{\pi}\,\int \operatorname{sec}^2(u)\,du = \frac{1}{\pi}\,\tan(u) + C_2 = \frac{1}{\pi}\,\tan\bigl(\pi x\bigr) + C_2.

Passo 5

Somando as duas parcelas e reunindo as constantes em uma só constante geral C, obtemos
\int \bigl(\tfrac{1}{x} + \operatorname{sec}^2(\pi x)\bigr)\,dx = \ln\bigl|x\bigr| + \frac{1}{\pi}\,\tan\bigl(\pi x\bigr) + C.

Resposta

\ln\bigl|x\bigr| + \frac{1}{\pi}\,\tan\bigl(\pi x\bigr) + C.

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