Uma empresa produz unu único produto con un custo fixo de R \ 1.200,00 e com um custo variável médio de Ráé$20,00 por unidade. O produto é vendido por Ré$ 40,00$ a unidade.
(a) Expresse o custo total CT em função da quantidade q produzida.
(b) Expresse a receita R em funcäo da quantidade q vendida.
(c) Expresse o lucro L en funço da quantidade q vendida.
(d) Defermine a quantidade de equilibrio.
(e) Determine o posto de equilibrio.
(f) Esboce, em un mesmo sistema de referencia, os gráficos de R e de C T.
(g) Olhando os gráficos que você fez para o item (f), responda: para que valores de q tem-se L>0 ? P’ara que valores de q tem-se L=0 ? Para que valores de q tem-se L<0 ?

Passo 1

O enunciado dá: custo fixo de R$ 1200, custo variável médio de R$ 20 por unidade e preço de venda R$ 40 por unidade. Vamos usar funções lineares para custo total, receita e lucro, e depois achar o ponto de equilíbrio e analisá-lo graficamente.

Passo 2

O custo total \mathrm{CT}(q) é a soma do custo fixo com o custo variável total. Como o custo variável médio é R$ 20 por unidade, para q unidades temos
\mathrm{CT}(q) = 1200 + 20 \cdot q.

Passo 3

A receita \mathrm{R}(q) é o preço de venda multiplicado pela quantidade vendida. Logo, se cada unidade rende R$ 40,
\mathrm{R}(q) = 40 \cdot q.

Passo 4

O lucro \mathrm{L}(q) é a diferença entre receita e custo total. Subtraindo as expressões anteriores,
\mathrm{L}(q)=\mathrm{R}(q)-\mathrm{CT}(q) =40\,q - \bigl(1200 + 20\,q\bigr) =20\,q - 1200.

Passo 5

O ponto de equilíbrio em quantidade é onde o lucro é zero. Resolvendo
20\,q - 1200 = 0
vem
q = \frac{1200}{20} = 60.

Passo 6

O ponto de equilíbrio em coordenadas (q,valor ) é obtido substituindo q=60 em \mathrm{R} ou em \mathrm{CT}. Ambas dão
\mathrm{R}(60)=40\cdot60=2400, \quad \mathrm{CT}(60)=1200+20\cdot60=2400.
Logo o ponto de equilíbrio é (60,2400).

Passo 7

Para esboçar os gráficos de \mathrm{CT} e \mathrm{R} num mesmo sistema:
  • Eixo horizontal: quantidade q.
  • Eixo vertical: valores em reais.
  • Gráfico de \mathrm{CT}(q)=1200+20q: reta com intercepto em (0,1200) e inclinação 20.
  • Gráfico de \mathrm{R}(q)=40q: reta com intercepto em (0,0) e inclinação 40.
    As duas retas se cruzam em (60,2400).

Passo 8

Do esboço e da expressão \mathrm{L}(q)=20q-1200:
  • \mathrm{L}(q)>0 se 20q-1200>0, isto é, q>60.
  • \mathrm{L}(q)=0 se q=60.
  • \mathrm{L}(q)<0 se q<60.

Resposta

(a) \mathrm{CT}(q)=1200+20q
(b) \mathrm{R}(q)=40q
(c) \mathrm{L}(q)=20q-1200
(d) Quantidade de equilíbrio: q=60
(e) Ponto de equilíbrio: (60,2400)
(f) Gráficos: reta de \mathrm{CT} com intercepto em (0,1200), inclinação 20; reta de \mathrm{R} com origem em (0,0), inclinação 40; intersectam em (60,2400).
(g) \mathrm{L}(q)>0 para q>60; \mathrm{L}(q)=0 para q=60; \mathrm{L}(q)<0 para q<60.

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