Calcule a integral e verifique sua resposta por diferenciação.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas com a integral
- Calcular a primitiva (ou seja, encontrar uma função cuja derivada seja o integrando).
- Verificar a resposta por diferenciação (derivar a primitiva encontrada e mostrar que volta ao integrando).
Informações dadas que vamos usar: o integrando é
. Aqui vou usar a notação usual
para
.
Passo 2
Primeiro passo útil: simplificar o integrando por expansão algébrica. Multiplicando,
Isso transforma a integral em uma soma de duas integrais mais simples:
Passo 3
Agora preciso lembrar (e mostrar por que) quais são as derivadas básicas de funções trigonométricas que vou usar:
-
. Derivando por quociente:
Portanto
. Isso implica que
-
. Derivando:
Portanto
. Isso implica que
Passo 4
Juntando as duas primitivas parciais (e lembrando que as constantes se combinam numa única constante
), obtemos
Nota: outra forma muito rápida de ver isso é observar que
ou seja, o integrando é exatamente a derivada de
.
Passo 5
Verificação por diferenciação (checar que a primitiva encontrada realmente retorna o integrando): calcule a derivada de
:
Reagrupando,
que é exatamente o integrando original. A verificação está completa.