Calcule a integral e verifique sua resposta por diferenciação.
int \operatorname{sec} x(\operatorname{sec} x+\operatorname{tg} x) d x

Passo 1

O enunciado pede duas coisas com a integral
\int \operatorname{sec} x(\operatorname{sec} x+\operatorname{tg} x)\,dx
  1. Calcular a primitiva (ou seja, encontrar uma função cuja derivada seja o integrando).
  2. Verificar a resposta por diferenciação (derivar a primitiva encontrada e mostrar que volta ao integrando).
Informações dadas que vamos usar: o integrando é \operatorname{sec} x(\operatorname{sec} x+\operatorname{tg} x). Aqui vou usar a notação usual \tan x para \operatorname{tg} x.

Passo 2

Primeiro passo útil: simplificar o integrando por expansão algébrica. Multiplicando,
\operatorname{sec} x(\operatorname{sec} x+\tan x)=\operatorname{sec}^2 x+\operatorname{sec} x\tan x.
Isso transforma a integral em uma soma de duas integrais mais simples:
\int \operatorname{sec} x(\operatorname{sec} x+\tan x)\,dx = \int \operatorname{sec}^2 x\,dx + \int \operatorname{sec} x\tan x\,dx.

Passo 3

Agora preciso lembrar (e mostrar por que) quais são as derivadas básicas de funções trigonométricas que vou usar:
  • \tan x = \dfrac{\sin x}{\cos x}. Derivando por quociente:
\frac{d}{dx}\tan x = \frac{\cos x\cdot\cos x - \sin x\cdot(-\sin x)}{\cos^2 x}= \frac{\cos^2 x+\sin^2 x}{\cos^2 x}=\frac{1}{\cos^2 x}=\operatorname{sec}^2 x.
Portanto \dfrac{d}{dx}\tan x=\operatorname{sec}^2 x. Isso implica que
\int \operatorname{sec}^2 x\,dx=\tan x + C_1.
  • \operatorname{sec} x=\dfrac{1}{\cos x}. Derivando:
\frac{d}{dx}\operatorname{sec} x=\frac{d}{dx}\big(\cos x\big)^{-1}= -1\cdot(\cos x)^{-2}\cdot(-\sin x)=\frac{\sin x}{\cos^2 x}=\operatorname{sec} x\tan x.
Portanto \dfrac{d}{dx}\operatorname{sec} x=\operatorname{sec} x\tan x. Isso implica que
\int \operatorname{sec} x\tan x\,dx=\operatorname{sec} x + C_2.

Passo 4

Juntando as duas primitivas parciais (e lembrando que as constantes se combinam numa única constante C), obtemos
\int \operatorname{sec}^2 x\,dx + \int \operatorname{sec} x\tan x\,dx = \tan x + \operatorname{sec} x + C.
Nota: outra forma muito rápida de ver isso é observar que
\frac{d}{dx}\big(\operatorname{sec} x+\tan x\big)=\operatorname{sec} x\tan x+\operatorname{sec}^2 x=\operatorname{sec}^2 x+\operatorname{sec} x\tan x,
ou seja, o integrando é exatamente a derivada de \operatorname{sec} x+\tan x.

Passo 5

Verificação por diferenciação (checar que a primitiva encontrada realmente retorna o integrando): calcule a derivada de \operatorname{sec} x+\tan x:
\frac{d}{dx}\big(\operatorname{sec} x+\tan x\big)=\frac{d}{dx}\operatorname{sec} x+\frac{d}{dx}\tan x=\operatorname{sec} x\tan x+\operatorname{sec}^2 x.
Reagrupando,
\operatorname{sec} x\tan x+\operatorname{sec}^2 x=\operatorname{sec} x(\tan x+\operatorname{sec} x)=\operatorname{sec} x(\operatorname{sec} x+\tan x),
que é exatamente o integrando original. A verificação está completa.

Resposta

\operatorname{sec} x+\tan x+C

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