Verifique a igualdade por diferenciação.
int t^{4} \sqrt[3]{3-5 t^{5}} d t=-\frac{3}{100}\left(3-5 t^{5}\right)^{4 / 3}+c

Passo 1

O enunciado pede para verificar por diferenciação que
\int t^{4}\sqrt[3]{3-5t^{5}}\,dt = -\frac{3}{100}\left(3-5t^{5}\right)^{4/3}+C.
Informações dadas:
  • O integrando é t^{4}\sqrt[3]{3-5t^{5}} = t^{4}\left(3-5t^{5}\right)^{1/3}.
  • A primitiva proposta é F(t) = -\dfrac{3}{100}\left(3-5t^{5}\right)^{4/3}+C.
    O que se pede: diferenciar F(t) e mostrar que F'(t) é igual ao integrando dado.

Passo 2

Defino a primitiva proposta sem a constante para facilitar a diferenciação:
F(t) = -\frac{3}{100}\left(3-5t^{5}\right)^{4/3}.
A constante C some ao derivar, então podemos ignorá‑la ao verificar por diferenciação.

Passo 3

Recordando as regras que vamos usar:
  • Regra da potência: se g(u)=u^{n} então g'(u)=n\,u^{n-1}.
  • Regra da cadeia: se F(t)=g(u(t)) então F'(t)=g'(u(t))\cdot u'(t).
    Aqui temos uma composição com u(t)=3-5t^{5} e g(u)=u^{4/3}.

Passo 4

Calculo a derivada da função interior u(t):
u(t)=3-5t^{5}\quad\Rightarrow\quad u'(t) = -5\cdot 5t^{4} = -25t^{4}.
Expliquei: derivei t^{5} usando a regra da potência ( 5t^{4}) e multipliquei pelo coeficiente -5.

Passo 5

Agora aplico a regra da potência à função exterior g(u)=u^{4/3}:
g'(u)=\frac{4}{3}u^{4/3-1}=\frac{4}{3}u^{1/3}.
Pelo conjunto das regras (cadeia), a derivada de \left(3-5t^{5}\right)^{4/3} é
\frac{4}{3}\left(3-5t^{5}\right)^{1/3}\cdot u'(t) =\frac{4}{3}\left(3-5t^{5}\right)^{1/3}\cdot\bigl(-25t^{4}\bigr).

Passo 6

Multiplico pelo fator constante que está em F(t). Lembre que F(t)=-\dfrac{3}{100}\cdot \bigl(3-5t^{5}\bigr)^{4/3}, então
F'(t) = -\frac{3}{100}\cdot\left[\frac{4}{3}\left(3-5t^{5}\right)^{1/3}\cdot\bigl(-25t^{4}\bigr)\right].

Passo 7

Simplifico passo a passo os coeficientes numéricos:
-\frac{3}{100}\cdot\frac{4}{3}\cdot(-25t^{4})
Primeiro cancelei o 3 com \frac{3}{3}:
-\frac{1}{100}\cdot 4 \cdot(-25t^{4}).
Então 4\cdot(-25t^{4})=-100t^{4}, logo
-\frac{1}{100}\cdot(-100t^{4}) = t^{4}.
Portanto a parte numérica reduziu para t^{4}. Mantendo a parte em potências,
F'(t) = t^{4}\left(3-5t^{5}\right)^{1/3}.

Passo 8

Reconheço que t^{4}\left(3-5t^{5}\right)^{1/3} é exatamente o integrando original escrito de outra forma:
F'(t)=t^{4}\sqrt[3]{3-5t^{5}}.
Logo a derivada da primitiva proposta é igual ao integrando, o que verifica a igualdade pedida.

Resposta

A igualdade é verdadeira.

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