Verifique a igualdade por diferenciação.
Passo 1
O enunciado pede para verificar por diferenciação que
Informações dadas:
- O integrando é
. - A primitiva proposta é
.
O que se pede: diferenciare mostrar que é igual ao integrando dado.
Passo 2
Defino a primitiva proposta sem a constante para facilitar a diferenciação:
A constante
some ao derivar, então podemos ignorá‑la ao verificar por diferenciação.
Passo 3
Recordando as regras que vamos usar:
- Regra da potência: se
então . - Regra da cadeia: se
então .
Aqui temos uma composição come .
Passo 4
Calculo a derivada da função interior
:
Expliquei: derivei
usando a regra da potência (
) e multipliquei pelo coeficiente
.
Passo 5
Agora aplico a regra da potência à função exterior
:
Pelo conjunto das regras (cadeia), a derivada de
é
Passo 6
Multiplico pelo fator constante que está em
. Lembre que
, então
Passo 7
Simplifico passo a passo os coeficientes numéricos:
Primeiro cancelei o
com
:
Então
, logo
Portanto a parte numérica reduziu para
. Mantendo a parte em potências,
Passo 8
Reconheço que
é exatamente o integrando original escrito de outra forma:
Logo a derivada da primitiva proposta é igual ao integrando, o que verifica a igualdade pedida.
Resposta
A igualdade é verdadeira.