Calcule a integral de volume da função
dentro do cilindro
e entre os planos
e
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que temos aqui é um exercício de cálculo de integrais de volume. A gente precisa calcular a integral da função
dentro de um cilindro definido por
e entre os planos
e
. Para resolver isso, vamos usar coordenadas cilíndricas, que facilitam bastante quando estamos lidando com cilindros.
Passo 2
Primeiro, vamos entender as coordenadas cilíndricas. Nessa sistema, qualquer ponto no espaço é representado por
, onde:
-
é a distância do ponto até o eixo , -
é o ângulo em torno do eixo , -
é a mesma coordenada na coordenada cartesiana.
Além disso, o elemento de volume em coordenadas cilíndricas é dado por
. Isso significa que para integrar em coordenadas cilíndricas, a gente multiplica a função pelo fator
.
Passo 3
Vamos reescrever a função
em coordenadas cilíndricas. Sabemos que:
Então,
Isso simplifica a nossa função para
.
Passo 4
Agora, vamos definir os limites de integração:
-
varia de 0 a 2, já que implica . -
varia de 0 a para cobrir todo o círculo. -
varia de 0 a 5, conforme dado no enunciado.
Então, a integral de volume fica:
Passo 5
Vamos resolver essa integral passo a passo:
- Integral em
:
- Integral em
:
- Integral em
:
Resposta
A integral de volume da função
dentro do cilindro
e entre os planos
e
é igual a
.