Calcule a integral de volume da função f(x, y, z)=x^2+y^2 dentro do cilindro x^2+y^2 <= 4 e entre os planos z=0 e z=5.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que temos aqui é um exercício de cálculo de integrais de volume. A gente precisa calcular a integral da função f(x, y, z) = x^2 + y^2 dentro de um cilindro definido por x^2 + y^2 <= 4 e entre os planos z = 0 e z = 5 . Para resolver isso, vamos usar coordenadas cilíndricas, que facilitam bastante quando estamos lidando com cilindros.

Passo 2

Primeiro, vamos entender as coordenadas cilíndricas. Nessa sistema, qualquer ponto no espaço é representado por (r, theta, z) , onde:
  • r é a distância do ponto até o eixo z ,
  • theta é o ângulo em torno do eixo z ,
  • z é a mesma coordenada na coordenada cartesiana.
Além disso, o elemento de volume em coordenadas cilíndricas é dado por dV = r , dr , dtheta , dz . Isso significa que para integrar em coordenadas cilíndricas, a gente multiplica a função pelo fator r .

Passo 3

Vamos reescrever a função f(x, y, z) = x^2 + y^2 em coordenadas cilíndricas. Sabemos que:
  • x = r costheta
  • y = r sintheta
Então,
f(r, theta, z) = (r costheta)^2 + (r sintheta)^2 = r^2 (cos^2theta + sin^2theta) = r^2 cdot 1 = r^2
Isso simplifica a nossa função para f(r, theta, z) = r^2 .

Passo 4

Agora, vamos definir os limites de integração:
  • r varia de 0 a 2, já que x^2 + y^2 <= 4 implica r <= 2 .
  • theta varia de 0 a 2pi para cobrir todo o círculo.
  • z varia de 0 a 5, conforme dado no enunciado.
Então, a integral de volume fica:
integral0^5 integral0^2pi integral0^2 r^2 cdot r , dr , dtheta , dz = integral0^5 integral0^2pi integral0^2 r^3 , dr , dtheta , dz

Passo 5

Vamos resolver essa integral passo a passo:
  1. Integral em r :
integral0^2 r^3 , dr = [ r^44 ]0^2 = 164 - 0 = 4
  1. Integral em theta :
integral0^2pi 4 , dtheta = 4 cdot (2pi - 0) = 8pi
  1. Integral em z :
integral0^5 8pi , dz = 8pi cdot (5 - 0) = 40pi

Resposta

A integral de volume da função f(x, y, z) = x^2 + y^2 dentro do cilindro x^2 + y^2 <= 4 e entre os planos z = 0 e z = 5 é igual a 40pi .

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